Дифференциальные формы — это обобщение понятий скалярных полей, векторных полей и более сложных тензорных объектов, естественным образом возникающее в дифференциальной геометрии и находящее широкое применение в физике. Они являются элементами внешней алгебры пространства касательных векторов и позволяют компактно записывать уравнения физики в координатно-независимой форме.
Дифференциальная k-форма на n-мерном многообразии — это полностью антисимметричный ковариантный тензор ранга k, который может быть записан в локальных координатах как
ω = ∑i1 < … < ikωi1…ik(x) dxi1 ∧ … ∧ dxik,
где ∧ — внешнее произведение, удовлетворяющее антикоммутативности: dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi.
Ключевая особенность дифференциальных форм — их поведение при изменении координат, которое обеспечивает инвариантность физических уравнений и позволяет применять их в обобщённых системах координат и на искривлённых многообразиях.
Оператор внешнего дифференцирования d действует на k-форму, повышая её степень на единицу: d : Ωk → Ωk + 1, причём d2 = 0. Это аналог градиента, ротора и дивергенции, обобщённый до форм произвольной степени.
Для 1-формы α = αidxi, внешняя производная равна
$$ d\alpha = \sum_{i<j} \left( \frac{\partial \alpha_j}{\partial x^i} - \frac{\partial \alpha_i}{\partial x^j} \right) dx^i \wedge dx^j. $$
Это соответствует ротору в трёхмерной пространственной форме.
Уравнения Максвелла можно записать в терминах дифференциальных форм:
Таким образом, вся система уравнений сводится к двум компактным выражениям с использованием дифференциальных форм, подчёркивая их универсальность и геометрическую природу.
Дифференциальные формы естественно интегрируются по ориентированным многообразиям соответствующей размерности. Если ω — k-форма, а Σ — ориентированное k-мерное подмногообразие, то
∫Σω
есть скалярная величина, инвариантная при координатных преобразованиях.
Обобщённая теорема Стокса утверждает:
∫∂Σω = ∫Σdω,
что объединяет в себе классические формулировки теорем Гаусса, Стокса, Грина. Это фундаментальный принцип, связывающий локальные и глобальные свойства полей.
В физике это позволяет, например, интерпретировать законы сохранения как следствие топологии и локальной симметрии: ток, определённый 3-формой J, удовлетворяющий dJ = 0, означает сохранение заряда.
Современные калибровочные теории фундаментальных взаимодействий — электродинамика, теория Янга-Миллса, гравитация в формализме Палатини — формулируются через дифференциальные формы.
Калибровочное поле A — 1-форма, значащаяся в алгебре Ли группы калибровки. Её кривизна F = dA + A ∧ A — 2-форма, отражающая интенсивность поля. Динамика задаётся лагранжианом вида:
ℒ = Tr(F ∧ *F),
инвариантным относительно локальных преобразований.
Такой подход позволяет не только упростить выражения, но и чётко сформулировать геометрический смысл поля: это связность на расслоении, а кривизна — её тензор кривизны.
В рамках общей теории относительности используется не только метрика, но и реперные поля (тетраде), которые можно выразить через 1-формы ea, где a — индекс в локальной инерциальной системе. Связь и кривизна описываются соответственно 1-формой связности ωab и 2-формой кривизны:
Rab = dωab + ωac ∧ ωcb.
Уравнения Эйнштейна можно записать в виде:
ϵabcdeb ∧ Rcd = κ ϵabcdeb ∧ ec ∧ Td,
что соответствует уравнению для гравитационного поля, связанному с материей, представленной 3-формой энергии-импульса Td.
Такой формализм, использующий дифференциальные формы, делает теорию естественной для обобщения на спинорные поля, суперсимметрию и квантовую гравитацию.
В классической механике и аналитической механике дифференциальные формы появляются при формулировке симплектической геометрии. Фазовое пространство — это симплектическое многообразие, снабжённое 2-формой:
ω = dpi ∧ dqi,
которая определяет структуру Пуассона и гамильтонову динамику:
iXHω = dH,
где XH — гамильтонов вектор, соответствующий функции Гамильтона H. Это определяет уравнения движения:
$$ \dot{q}^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i}. $$
Аналогично, в термодинамике 1-форма θ = dU − TdS + pdV позволяет анализировать интегрируемость и условия существования термодинамического потенциала. Если θ замкнута (т.е. dθ = 0), то существует функция состояния, и система подчиняется первому началу термодинамики.
Когомологии де Рама, основанные на дифференциальных формах, играют важную роль в теоретической физике, особенно в квантовой теории поля и топологической теории поля. Пространство замкнутых форм факторизуется по точным:
$$ H^k_{\text{dR}}(M) = \frac{\ker d: \Omega^k \to \Omega^{k+1}}{\text{im } d: \Omega^{k-1} \to \Omega^k}. $$
Недифференцируемые, но замкнутые формы (например, связанные с монопольными конфигурациями или полями с нетривиальной топологией) отражают глобальные свойства пространства и играют ключевую роль в квантовании, как, например, в эффектах Ааронов-Бома.
Дифференциальные формы — мощный язык, объединяющий локальную и глобальную геометрию, инвариантность физических законов, и обеспечивающий элегантную математическую структуру для описания физических теорий от электродинамики до квантовой гравитации.