Турбулентный поток представляет собой хаотическое, неустойчивое движение жидкости или газа, характеризующееся широким спектром пространственно-временных масштабов. Прямое численное моделирование (DNS) уравнений Навье–Стокса для турбулентного режима требует колоссальных вычислительных ресурсов. Поэтому часто применяется статистическое описание, использующее усреднённые характеристики потока, такие как средняя скорость, дисперсии и корреляционные функции. При этом необходимо прибегать к методам дискретизации и численного анализа.
Ключевой задачей является переход от непрерывного описания к дискретному, позволяющему решать уравнения с помощью конечного числа операций. Основу составляют дискретные преобразования, такие как дискретное преобразование Фурье (ДПФ), дискретное косинус-преобразование (DCT), а также вейвлет-преобразования. Они позволяют анализировать энергетический спектр, выявлять доминирующие моды и эффективно фильтровать шум.
ДПФ применяется при анализе как одномерных, так и многомерных полей скоростей и давления. Пусть un — значения скорости на равномерной сетке с шагом Δx, n = 0, 1, ..., N − 1. Тогда дискретное преобразование Фурье определяется как:
$$ \hat{u}_k = \sum_{n=0}^{N-1} u_n \exp\left( -\frac{2\pi i k n}{N} \right), \quad k = 0, 1, ..., N-1 $$
Обратное преобразование:
$$ u_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \hat{u}_k \exp\left( \frac{2\pi i k n}{N} \right) $$
Это позволяет перейти от временно-пространственной картины к спектральной, что особенно важно для анализа энергетического каскада в турбулентности: от крупных вихрей к мелким.
Применение:
Для численного решения уравнений Навье–Стокса в турбулентном режиме широко применяются псевдоспектральные методы, где нелинейные члены уравнений обрабатываются в физическом пространстве, а линейные — в спектральном. Это особенно эффективно в периодических доменах.
Типичная схема:
Преимущества:
В отличие от глобального характера Фурье-преобразования, вейвлет-преобразование обеспечивает локализацию как в пространстве, так и в частотной области. Это особенно важно для анализа локальных всплесков турбулентной активности, интермиттентности и когерентных структур.
Одномерное дискретное вейвлет-преобразование для сигнала f(n) имеет вид:
Wj, k = ∑nf(n)ψj, k(n)
где ψj, k(n) — вейвлет-функции, полученные масштабированием и сдвигом базовой функции (например, вейвлета Даубеши).
В турбулентности вейвлет-анализ позволяет:
DCT используется в задачах с не периодическими граничными условиями. В частности, DCT-II:
$$ \hat{u}_k = \sum_{n=0}^{N-1} u_n \cos\left[ \frac{\pi}{N} \left(n + \frac{1}{2} \right) k \right], \quad k = 0, ..., N-1 $$
Такое преобразование сохраняет ортогональность и позволяет эффективно решать задачи, например, теплопроводности с граничными условиями Дирихле.
В задачах турбулентности DCT применяется:
Моделирование турбулентных потоков требует реализации сложных алгоритмов, таких как:
DNS (Direct Numerical Simulation): решение уравнений Навье–Стокса без моделирования подрешёточных масштабов. Используется в основном в исследованиях и при малых числах Рейнольдса.
LES (Large Eddy Simulation): моделируются крупные вихри, мелкие масштабы учитываются с помощью подрешёточной модели. Требует фильтрации, часто реализуемой в спектральном пространстве.
RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes): используется усреднение по ансамблю, приводит к необходимости введения турбулентной вязкости и уравнений для неё (k-ε, k-ω и др.).
Во всех этих подходах численные методы тесно связаны с выбором сетки, схем дифференцирования, условий устойчивости и регуляризации. Используются методы конечных разностей, конечных объёмов и конечных элементов.
Для статистического описания турбулентных потоков важна информация о корреляционных функциях:
Ruu(r) = ⟨u(x)u(x + r)⟩
Для их оценки из численных данных применяются:
Также важным численным инструментом является оценка структурных функций:
Sp(r) = ⟨|u(x + r) − u(x)|p⟩
Они позволяют получить информацию о мультифрактальной структуре турбулентности.
При численном моделировании турбулентных течений особое внимание уделяется:
Для стабилизации численного решения применяются:
Многие численные задачи сводятся к решению систем линейных уравнений:
Ax⃗ = b⃗
В задачах турбулентности матрицы A часто имеют разреженную структуру. Для их решения применяются:
Для повышения эффективности используются библиотеки типа PETSc, Trilinos, FFTW.
Турбулентные задачи требуют массивных параллельных вычислений. Применяются:
Оптимизация алгоритмов под архитектуру вычислительного оборудования критична для высокоразрешённых моделей.
Методы дискретных преобразований, такие как ДПФ, DCT и вейвлеты, становятся неотъемлемыми инструментами при численном моделировании турбулентных течений. Их правильное применение позволяет не только точно описывать поведение турбулентных структур, но и существенно снижать вычислительные затраты при сохранении физической достоверности моделирования.