Турбулентность — это режим движения жидкости или газа, характеризующийся хаотическими, неустойчивыми, сильно зависимыми от начальных условий флуктуациями скорости, давления и других физических величин. Ключевыми свойствами турбулентного потока являются:
Динамика вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u}, \quad \nabla \cdot \vec{u} = 0 $$
Для турбулентного режима прямое численное решение этих уравнений невозможно из-за огромного числа степеней свободы. Необходим переход к осреднённому описанию, приводящему к уравнениям Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$
Тензор Рейнольдсовых напряжений $\overline{u_i' u_j'}$ требует моделирования, что и есть проблема замыкания.
Рассматриваются различные подходы к статистическому описанию:
Функция двухточечной корреляции скорости:
Rij(r⃗) = ⟨ui(x⃗)uj(x⃗ + r⃗)⟩
Спектральное представление энергии:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int \delta(|\vec{k}| - k) \hat{R}_{ii}(\vec{k}) d\vec{k} $$
где R̂ii(k⃗) — спектральная плотность энергии, полученная преобразованием Фурье корреляционной функции.
Классическая теория Колмогорова (1941) исходит из допущений об изотропности, однородности и существовании инерционного интервала. В этом интервале:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — средняя скорость диссипации энергии. Это распределение подтверждается множеством экспериментов и численных расчетов.
Также важна функция структуры второго порядка:
S2(r) = ⟨[u(x + r) − u(x)]2⟩ ∼ (εr)2/3
Для инженерных расчетов часто используются полуэмпирические модели:
Электромагнитные поля в вакууме описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:
$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \vec{E} = 0, \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0, \\ &\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \\ &\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} $$
Из этих уравнений выводится волновое уравнение для электрического и магнитного полей:
$$ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0, \quad \nabla^2 \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 $$
где $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ — скорость света в вакууме.
Общим решением волнового уравнения является плоская волна:
$$ \vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t), \quad \vec{B} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E} $$
Электрическое и магнитное поля ортогональны друг другу и направлению распространения волны. Вектор Пойнтинга:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} $$
определяет плотность потока энергии.
В изотропной, линейной, однородной среде с параметрами ε, μ, σ уравнения Максвелла дополняются током проводимости:
J⃗ = σE⃗
Учет тока приводит к комплексной диэлектрической проницаемости:
$$ \varepsilon_{\text{eff}} = \varepsilon + i \frac{\sigma}{\omega} $$
В результате волновое число становится комплексным:
$$ k = \omega \sqrt{\mu \varepsilon_{\text{eff}}} = \alpha + i \beta $$
где β отвечает за экспоненциальное затухание волны: E⃗ ∼ e−βx.
В неоднородных и анизотропных средах возникает дисперсия — зависимость фазовой скорости от частоты:
$$ v_p = \frac{\omega}{k}, \quad v_g = \frac{d\omega}{dk} $$
Фазовая скорость характеризует распространение фазы, групповая — распространение энергии. Их различие особенно важно в волноводах, плазме, и оптоволокне.
В хороших проводниках (например, металлах) волна затухает на расстоянии порядка скин-слоя:
$$ \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega}} $$
Поля существенно ослабляются уже на глубине δ. В диэлектриках без проводимости (σ = 0) волны могут распространяться практически без затухания.
На границе двух сред выполняются условия непрерывности тангенциальных компонент E⃗ и H⃗. Это приводит к законам Френеля:
$$ r = \frac{n_1 \cos \theta_i - n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t}, \quad t = \frac{2 n_1 \cos \theta_i}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t} $$
Возможны эффекты полного внутреннего отражения, возникновения поверхностных волн, и поляризационных явлений (например, отражение Брюстера).
Поляризация — определённая ориентация вектора E⃗. Возможны линейная, круговая и эллиптическая поляризации, в зависимости от фазового сдвига между компонентами поля. Интерференция волн с разными фазами и направлениями приводит к характерным пространственным картинам, зависящим от частоты и геометрии источников.