В рамках Стандартной модели фундаментальных взаимодействий электрослабая теория описывает объединение электромагнитного и слабого взаимодействий в рамках единой калибровочной группы
SU(2)L × U(1)Y,
где SU(2)L отвечает за изоспиновое слабое взаимодействие, а U(1)Y — за гиперзаряд. Групповая структура определяется выбором фермионных двойников, трансформирующихся по представлениям этих групп.
Физические калибровочные бозоны — фотоны, W±, Z0 — являются результатом спонтанного нарушения симметрии при переходе от симметричной фазы SU(2)L × U(1)Y к электромагнитной фазе U(1)em. Этот переход реализуется механизмом Хиггса.
Полный лагранжиан теории без учёта фермионов включает:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} W^a_{\mu\nu} W^{a\mu\nu} - \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} + (D_\mu \Phi)^\dagger (D^\mu \Phi) - V(\Phi), $$
где:
$$ D_\mu = \partial_\mu - i g \frac{\tau^a}{2} W^a_\mu - i g' \frac{Y}{2} B_\mu, $$
Параметр μ2 < 0 обеспечивает минимум не при Φ = 0, а при ненулевом вакуумном среднеквадратичном значении поля.
Минимум потенциала достигается при
$$ \langle \Phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}, \quad v = \sqrt{-\mu^2 / \lambda}. $$
Это приводит к спонтанному нарушению симметрии:
SU(2)L × U(1)Y → U(1)em.
В результате три компоненты калибровочных полей приобретают массу:
$$ M_W = \frac{1}{2} g v, \quad M_Z = \frac{1}{2} \sqrt{g^2 + g'^2} \, v, $$
Mγ = 0.
Бозоны W± и Z0 становятся массивными, а фотон Aμ, связанный с электромагнитным взаимодействием, остаётся безмассовым.
Для диагонализации матрицы масс вводится слабый угол Вайнберга θW:
$$ \begin{aligned} A_\mu &= B_\mu \cos\theta_W + W^3_\mu \sin\theta_W, \\ Z_\mu &= -B_\mu \sin\theta_W + W^3_\mu \cos\theta_W, \end{aligned} $$
где:
$$ \sin\theta_W = \frac{g'}{\sqrt{g^2 + g'^2}}, \quad e = g \sin\theta_W = g' \cos\theta_W. $$
Таким образом, электромагнитный заряд выражается через параметры калибровочной группы.
Уравнения Навье–Стокса описывают движение вязкой несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u} + \vec{f}, \quad \nabla \cdot \vec{u} = 0. $$
Турбулентность возникает при больших числах Рейнольдса:
$$ \mathrm{Re} = \frac{UL}{\nu} \gg 1, $$
что означает доминирование инерционных сил над вязкими. Решение становится чувствительным к начальному условию, структура потока — хаотичной, а само поле скорости — случайным.
В таких условиях целесообразно использовать статистические методы, описывая поведение не отдельных реализаций потока, а его статистические свойства.
Разделим поле скорости на среднюю и флуктуационную часть:
$$ \vec{u} = \overline{\vec{u}} + \vec{u}', \quad \overline{\vec{u}'} = 0. $$
Подставляя в уравнение Навье–Стокса и усредняя по ансамблю, получаем уравнение Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \nabla^2 \overline{u}_i - \frac{\partial \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j}. $$
Дополнительный член $\overline{u'_i u'_j}$ называется рейнольдсовым напряжением и требует моделей замыкания (например, приближение Буссинеска или уравнения k–ε).
А.Н. Колмогоров разработал универсальную статистическую теорию мелкомасштабной турбулентности, основанную на допущениях об изотропии и самоподобии:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы, k — волновое число.
Эта теория лежит в основе численного моделирования (LES — Large Eddy Simulation), а также стохастического описания турбулентных потоков.
Для количественного анализа используют:
$$ R_{ij}(\vec{r}) = \overline{u_i(\vec{x}) u_j(\vec{x} + \vec{r})}, $$
$$ S_p(\ell) = \overline{|\delta u(\ell)|^p}, \quad \delta u(\ell) = u(x+\ell) - u(x), $$
которые при изотропии и развитой турбулентности подчиняются степенным законам:
$$ S_p(\ell) \sim \ell^{\zeta_p}, \quad \zeta_p \approx \frac{p}{3} \text{ (в первом приближении)}. $$
Нелинейные поправки к экспонентам ζp отражают интермиттенцию — нерегулярность распределения диссипации энергии в пространстве.
Турбулентное течение можно описывать как случайное поле с определённой вероятностной мерой в функциональном пространстве. Рассматривают вероятностную плотность распределения для поля скорости ????[u(x, t)], удовлетворяющую функциональному уравнению Фоккера–Планка, выведенному из уравнений Навье–Стокса с учётом стохастической силы f⃗.
Используется также техника функциональных интегралов, аналогичных квантовой теории поля:
Z[J] = ∫????u exp (−S[u] + ∫Ju dxdt),
где S[u] — эффективное действие. Это позволяет применять методы ренормализационной группы и диаграммных техник.
Согласно уравнению баланса энергии:
$$ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2} \overline{|\vec{u}|^2} \right) + \nabla \cdot \left( \text{поток энергии} \right) = - \varepsilon + \text{ввод энергии}. $$
При ν → 0 наблюдается аномальная диссипация: несмотря на исчезновение вязкого члена, скорость диссипации остаётся конечной. Это отражает разрывность решений и лежит в основе гипотезы Онзагера о слабых решениях уравнений Эйлера.