Турбулентность и статистические методы
Определение и особенности турбулентного течения
Турбулентное течение — это нестационарное, хаотическое движение жидкости или газа, характеризующееся сильной неустойчивостью, возникновением вихрей и широкой шкалой пространственно-временных флуктуаций. В отличие от ламинарного режима, где траектории частиц упорядочены, в турбулентности движение частицы непредсказуемо, и скорость потока в каждой точке случайна во времени.
Основным безразмерным критерием возникновения турбулентности служит число Рейнольдса $\text{Re} = \frac{\rho U L}{\mu},$ где ρ — плотность среды, U — характерная скорость, L — характерный размер, μ — динамическая вязкость. При превышении некоторого критического значения Re течение переходит в турбулентный режим.
Уравнения Навье–Стокса в турбулентной форме
Основу теоретического описания составляет уравнение Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \vec{u}, $$
∇ ⋅ u⃗ = 0,
где u⃗ — поле скоростей, p — давление, ν — кинематическая вязкость. При высоких Re поведение решений этих уравнений становится чувствительным к начальному возмущению, и анализ становится невозможным без статистических методов.
Статистическое описание турбулентности
Классическим подходом к описанию турбулентности является переход от детерминированного поля скоростей u⃗(x⃗, t) к среднему полю ⟨u⃗(x⃗, t)⟩ и флуктуациям u⃗′ = u⃗ − ⟨u⃗⟩. После усреднения уравнений Навье–Стокса по ансамблю или времени возникает система уравнений Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial t} + \langle u_j \rangle \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \langle u_i \rangle}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle u_i' u_j' \rangle}{\partial x_j}. $$
Последний член ⟨ui′uj′⟩ — напряжения Рейнольдса, содержащие вторые моменты флуктуаций скоростей. Они являются дополнительными неизвестными, что приводит к необходимости замыкающих гипотез.
Модели замыкания и приближения
Для замыкания уравнений Рейнольдса используются различные модели турбулентности. Классическая — модель Буссинеска, предполагающая пропорциональность напряжений Рейнольдса градиенту среднего поля скоростей:
$$ \langle u_i' u_j' \rangle = -\nu_t \left( \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle u_j \rangle}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \langle u'_i u'_i \rangle$ — турбулентная кинетическая энергия.
Существуют более сложные модели:
Корреляционные функции и спектры
Для количественного анализа турбулентного поля используются функции корреляции и энергетический спектр. Двухточечная корреляционная функция скоростей:
Rij(r⃗) = ⟨ui(x⃗)uj(x⃗ + r⃗)⟩,
определяет структуру турбулентности и даёт представление о масштабах взаимодействия вихрей.
Фурье-преобразование Rii(r⃗) приводит к спектру энергии E(k), где k — волновое число. В инерциальном диапазоне спектр подчиняется закону Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
Интермиттенция и фрактальные свойства
Реальная турбулентность проявляет интермиттенцию — наличие «выбросов» энергии на малых масштабах, где флуктуации значительно превышают средние значения. Это указывает на негомогенность и мультифрактальный характер турбулентного поля. Такие эффекты учитываются при уточнении спектральных законов и построении более сложных стохастических моделей.
Электростатика и магнитостатика
Уравнения Максвелла в статических приближениях
Электростатика и магнитостатика — предельные случаи электродинамики, в которых поля не зависят от времени. Из полной системы уравнений Максвелла выделяются следующие:
Электростатика:
$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \times \vec{E} = 0. $$
Магнитостатика:
∇ ⋅ B⃗ = 0, ∇ × B⃗ = μ0j⃗.
Где E⃗ — электрическое поле, B⃗ — магнитная индукция, ρ — плотность заряда, j⃗ — плотность тока.
Потенциалы и их уравнения
В силу потенциальности электрического поля существует скалярный потенциал φ, такой что:
E⃗ = −∇φ.
Подставляя в уравнение Гаусса:
$$ \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, $$
получаем уравнение Пуассона, а в области без зарядов — уравнение Лапласа:
Δφ = 0.
В магнитостатике поле описывается векторным потенциалом A⃗:
B⃗ = ∇ × A⃗,
при выборе калибровки ∇ ⋅ A⃗ = 0 имеем:
ΔA⃗ = −μ0j⃗.
Фундаментальные решения и граничные задачи
Для уравнений Пуассона и Лапласа применяются методы потенциальной теории. В трёхмерном случае фундаментальное решение:
$$ G(\vec{x}, \vec{x}') = \frac{1}{4\pi |\vec{x} - \vec{x}'|}, $$
позволяет выразить потенциал:
$$ \varphi(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{x}')}{|\vec{x} - \vec{x}'|} \, d^3 x'. $$
Для граничных задач используются методы зеркальных зарядов, разложение по гармоническим функциям, а также методы интегральных уравнений.
Энергия и силы
Энергия электрического поля:
$$ W_E = \frac{\varepsilon_0}{2} \int |\vec{E}|^2 \, d^3x, $$
энергия магнитного поля:
$$ W_B = \frac{1}{2\mu_0} \int |\vec{B}|^2 \, d^3x. $$
Сила, действующая на распределённый заряд, выражается через объёмную плотность силы:
f⃗ = ρE⃗ + j⃗ × B⃗.
Примеры типовых решений
$$ \varphi(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{|\vec{x}|}. $$
$$ \vec{E}(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{3(\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{p}}{r^3} \right), \quad \vec{p} = q \vec{d}. $$
$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \hat{\varphi}. $$
Связь с вариационными принципами
Электростатическая задача эквивалентна задаче минимизации энергии при фиксированном распределении заряда. Уравнение Лапласа можно получить из вариационного принципа:
δ(∫|∇φ|2d3x) = 0.
Магнитостатическая задача аналогична, с функционалом:
δ(∫|∇ × A⃗|2d3x) = 0,
что приводит к уравнению для A⃗.
Методы решения и симметрия
Использование симметрий (сферической, цилиндрической, плоской) позволяет применять методы разделения переменных. Кроме того, принцип суперпозиции облегчает построение решений в линейных системах. Важную роль играют гармонические функции и свойства сферических функций Лапласа.