Турбулентность и статистические методы
Турбулентные течения характеризуются хаотической, многомасштабной динамикой, что делает невозможным точное детерминированное описание каждого момента поля скорости. Поэтому основным подходом к анализу турбулентности становится статистический.
Пусть u(x, t) — поле скорости. Основной объект исследования — усреднённые характеристики: математическое ожидание ⟨u⟩, корреляционные функции, спектральные плотности и пр. Основной гипотезой является эргодичность, позволяющая заменять ансамблевое усреднение временным или пространственным.
Для однородной турбулентности средней скорости нет, и поле скорости представляется как флуктуации:
u = u′ с ⟨u′⟩ = 0.
Фундаментальной величиной является двухточечная корреляционная функция:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩.
Для изотропной турбулентности она зависит только от расстояния r = |r|, и её тензорная структура задаётся инвариантами второго ранга. Применение преобразования Фурье к Rij(r) даёт энергетический спектр E(k), описывающий распределение энергии по волновым числам.
Одним из краеугольных камней статистической теории турбулентности является гипотеза Колмогорова (1941). В ней вводится масштаб энергии ε — скорость диссипации турбулентной энергии на малых масштабах. При отсутствии внешнего воздействия и вязкости, в интервале между масштабом внешнего возмущения L и масштабом вязкости η реализуется инерционный интервал, в котором энергия каскадируется без потерь.
Колмогоров предположил, что в этом диапазоне энергетический спектр зависит только от ε и k, и имеет вид:
E(k) = CKε2/3k−5/3,
где CK — константа Колмогорова. Это результат масштабного анализа и ключевой элемент квазиклассической турбулентности.
Для изотропной турбулентности можно вывести уравнение Кármán–Howarth:
$$ \frac{\partial}{\partial t} R(r, t) = T(r, t) + D(r, t), $$
где T(r, t) — транспортный член (нелинейное перераспределение энергии), а D(r, t) — диссипативный член. В стационарном случае, при ν → 0, уравнение приводит к четвёртому закону Колмогорова (иногда называемому «4/5-законом»):
$$ \langle (\delta u_L)^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где δuL — продольная инкрементальная скорость. Это единственный точный результат в теории турбулентности в пределах гипотез Колмогорова.
Из уравнения Навье–Стокса для турбулентного поля, при усреднении, возникает задача замыкания: появляются дополнительные корреляционные члены второго и более высоких порядков. Например, уравнение Рейнольдса для средней скорости включает тензор Рейнольдса:
Rij = ⟨u′iu′j⟩.
Чтобы закрыть систему, используются модели турбулентности: одноточечные (k–ε, k–ω модели), многоточечные, или спектральные модели (EDQNM — Eddy Damped Quasi-Normal Markovian). Основание многих таких моделей — квазинормальное приближение, предполагающее, что корреляции порядка выше четвёртого можно выразить через второй порядок с помощью гауссовской гипотезы.
Турбулентность можно моделировать с помощью случайных процессов. Одним из подходов является ланжевеновское описание движения частиц в турбулентном потоке:
$$ \frac{d u_i}{d t} = -\gamma u_i + \xi_i(t), $$
где ξi(t) — белый шум с корреляцией ⟨ξi(t)ξj(t′)⟩ = Dδijδ(t − t′). Такой подход позволяет описать дисперсию частиц, диффузию и связывать микроскопические характеристики с макроскопическими транспортными коэффициентами.
Эксперименты и численные расчёты показывают отклонения от предсказаний Колмогорова, особенно для высоких порядков структуры. Это явление известно как интермиттентность, отражающая нерегулярность распределения энергии по масштабу.
Анализ структуры функции при интермиттентности требует введения анормальных показателей масштабирования:
$$ \langle (\delta u(r))^p \rangle \sim r^{\zeta_p}, \quad \zeta_p \neq \frac{p}{3}. $$
Для описания этих отклонений применяются мультифрактальные модели, в которых распределение интенсивностей масштабируется с множеством фрактальных размерностей.
Фейнмановские диаграммы и правила вычислений
Фейнмановские диаграммы представляют собой графическое отображение членов разложения по возмущениям в квантовой теории поля. Каждый элемент диаграммы соответствует определённому математическому выражению в ряду по взаимодействию. Основной объект — функция Грина (или амплитуда), которая расширяется в ряд по константе связи.
Рассмотрим скалярную теорию с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4. $$
Полный путь к амплитуде определяется интегралом по всем конфигурациям поля — функциональный интеграл. Диаграммы возникают из разложения экспоненты взаимодействия:
$$ e^{i \int d^4x \, \mathcal{L}_{\text{int}}(\phi)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\lambda)^n}{n!} \left( \int d^4x \, \phi^4 \right)^n. $$
Каждая вершина: множитель −iλ, Каждая внутренняя линия: пропагатор $\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$, Закон сохранения импульса в вершинах, Интеграция по каждому независимому внутреннему импульсу: $\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}$.
Таким образом, для диаграммы с L петлями, I внутренними линиями и V вершинами, амплитуда будет иметь L интегралов по импульсам и общую структуру, обусловленную топологией графа.
Фейнмановский подход позволяет систематически вычислять поправки к массам, зарядам, взаимодействиям. Однако большинство диаграмм дают расходящиеся интегралы. Для устранения этих расходимостей используется перенормировка.
Типичные методы:
К примеру, массовая поправка в φ⁴ теории:
$$ \delta m^2 = \frac{\lambda}{2} \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2 - m^2 + i\epsilon}, $$
требует введения контрчлена δm2ϕ2/2.
Фейнмановский формализм в КЭД дополняется линиями фотонов и фермионов. Основные правила:
Пример: поправка к гироотношению электрона — аномальный магнитный момент — исчисляется из петлевой диаграммы с вложенным фотоном и даёт результат α/2π, где α — постоянная тонкой структуры.
Многопетлевые поправки дают возможность исследовать бегущие константы, т.е. зависимость параметров теории от масштаба энергии. Это ведёт к группе ренормализации.
Величина:
$$ \beta(\lambda) = \mu \frac{d\lambda}{d\mu}, $$
характеризует изменение эффективной константы связи с масштабом энергии. В φ⁴ теории:
$$ \beta(\lambda) = \frac{3\lambda^2}{16\pi^2} + \cdots $$
показывает рост взаимодействия на больших энергиях и, возможно, существование тривиальности в ультрафиолете.
Методы Фейнмановских диаграмм применимы и вне квантовой теории поля, в частности в критических явлениях и динамике флуктуаций. Например, в теории фазовых переходов через поля порядка (модель Гинзбурга–Ландау), где также используется разложение по фейнмановским диаграммам с соответствующими вершинами и пропагаторами.
Таким образом, диаграммная техника универсальна и применяется во многих разделах теоретической физики: от микроскопической динамики до макроскопических коллективных эффектов.