Турбулентные потоки в атмосфере описываются уравнениями Навье–Стокса, дополненными уравнениями термодинамики и уравнениями переноса примесей. Однако непосредственное численное решение этих уравнений с разрешением всех масштабов турбулентности практически невозможно в реальных климатических и метеорологических моделях из-за колоссального диапазона пространственно-временных масштабов. Поэтому прибегают к статистическому описанию, основанному на осреднении уравнений и введении дополнительных параметров, описывающих влияние маломасштабных флуктуаций на крупномасштабные поля.
Пусть $\mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}'$ — разложение скорости на среднюю $\overline{\mathbf{u}}$ и флуктуационную u′ составляющие. Аналогично, давление и температура также раскладываются:
$$ p = \overline{p} + p', \quad T = \overline{T} + T' $$
Подставляя эти разложения в уравнение Навье–Стокса и осредняя по ансамблю или времени, получаем уравнения Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$
Тензор Рейнольдсовых напряжений $\overline{u_i' u_j'}$ требует замыкания. Это основная проблема статистической теории турбулентности — проблема замыкания.
Для замыкания осреднённых уравнений используются различные модели, в том числе:
Модель Буссинеска (градиентной диффузии):
$$ \overline{u_i' u_j'} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij} $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i}$ — турбулентная кинетическая энергия.
k–ε модель: Модель двух уравнений для k и скорости диссипации ε:
$$ \frac{Dk}{Dt} = P_k - \varepsilon + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] $$
$$ \frac{D\varepsilon}{Dt} = C_{1\varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} P_k - C_{2\varepsilon} \frac{\varepsilon^2}{k} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_\varepsilon} \right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} \right] $$
где Pk — источник турбулентной энергии, зависящий от градиентов скорости.
Теория подобия Колмогорова: Основываясь на гипотезе локальной изотропии и универсальности малых масштабов, Колмогоров предложил масштабную модель для инерционного интервала:
E(k) = CKε2/3k−5/3
где E(k) — спектральная плотность кинетической энергии, k — волновое число, ε — скорость диссипации энергии.
В атмосфере различают несколько характерных слоёв, где турбулентность имеет разную природу:
Пограничный слой (до 1–2 км): турбулентность возбуждается главным образом за счёт трения о поверхность Земли и теплообмена. Здесь действуют модели подобия Монена–Обухова. Вводится шкала Обухова:
$$ L = -\frac{u_*^3}{\kappa g (H/\rho c_p)} $$
где u* — трениевая скорость, κ — постоянная фон Кармана, H — поток тепла.
Свободная тропосфера: турбулентность носит преимущественно внутренний волновой характер, и важную роль играет стратификация. Используются параметры типа числа Ричардсона:
$$ Ri = \frac{g}{\overline{T}} \frac{\partial \overline{T}/\partial z}{\left( \partial \overline{u}/\partial z \right)^2} $$
Стратосфера и мезосфера: здесь турбулентность часто индуцируется гравитационными волнами. Статистические методы включают спектральный анализ возмущений и параметризацию волн.
В крупномасштабной динамике атмосферы (на масштабах более 1000 км) действует баланс между кориолисовой и градиентной силами. Это позволяет применить квазигеострофическую аппроксимацию:
$$ \frac{D}{Dt} \left( \nabla^2 \psi + \frac{f_0^2}{N^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) = 0 $$
где ψ — потоковая функция, N — частота Брюнё-Вяйсяля.
Для анализа статистических свойств циркуляции используется спектральный анализ поля ψ, методы эмпирических ортогональных функций (EOF), а также методы стохастического моделирования, в которых турбулентные потоки описываются как случайные процессы с заданной ковариационной структурой.
Стохастический подход используется в климатических моделях для учёта неопределённостей в маломасштабной динамике. Один из подходов — моделирование турбулентных потоков с помощью уравнений типа:
dXt = f(Xt)dt + G(Xt)dWt
где Xt — вектор климатических переменных, f(Xt) — детерминированная динамика, G(Xt)dWt — случайная компонента, моделируемая винеровским процессом.
Применение стохастических параметризаций позволяет воспроизводить наблюдаемую статистику климата, включая спектры вариаций температуры, давления и ветра, а также восстанавливать межгодовую и внутрисезонную изменчивость.
Для моделирования глобального климата критически важны правильные оценки вертикального и горизонтального турбулентного переноса тепла, влаги и примесей. Используются уравнения:
$$ \frac{\partial \overline{q}}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{q}}{\partial x_j} = - \frac{\partial \overline{u_j' q'}}{\partial x_j} + S $$
где q — удельная влажность, S — источники и стоки (конденсация, осадки). Турбулентный поток $\overline{u_j' q'}$ замыкается аналогично закону Фика:
$$ \overline{u_j' q'} = -K_q \frac{\partial \overline{q}}{\partial x_j} $$
где Kq — турбулентный коэффициент диффузии влаги, аналогичный νt для скорости.
Современные климатические модели (GCM — General Circulation Models) используют разбиение атмосферы на ячейки с размером порядка 50–100 км, что не позволяет явно моделировать турбулентность. Поэтому применяются:
Результаты параметризации подвергаются валидации на основе спутниковых и наземных данных, а также моделей LES (Large Eddy Simulation), которые разрешают крупные вихри, оставляя замыкание только на малых масштабах.
Атмосферная турбулентность демонстрирует каскад энергии от крупных масштабов к мелким (прямой каскад) и, наоборот, для вихрей в двумерных областях (обратный каскад). Это приводит к наблюдаемой многомасштабной структуре и к интермиттентности — нерегулярности турбулентной активности.
Интермиттентность выражается в отклонениях от гауссовского распределения флуктуаций, наличии хвостов в PDF и в изменении скейлинговых законов:
⟨|δul|p⟩ ∼ lζ(p)
где ζ(p) — нелинейная функция порядка момента, отличающаяся от линейного закона Колмогорова ζ(p) = p/3.
Использование мультифрактального анализа позволяет описывать интермиттентные структуры, наблюдаемые в атмосферных данных (например, вариации скорости ветра, температурных градиентов и концентраций аэрозолей).