Основу описания турбулентности составляет система уравнений Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}, \qquad \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, $$
где – v(x, t) — поле скорости, – p(x, t) — давление, – ρ — плотность, – ν — кинематическая вязкость, – f — внешняя сила.
Нелинейность уравнения обусловлена конвективным членом (v ⋅ ∇)v, порождающим каскад энергии и спонтанное возникновение вихрей. Именно эта нелинейность делает невозможным аналитическое решение уравнений в турбулентном режиме и требует применения статистических подходов.
В турбулентном режиме поле скорости является стохастической величиной, зависящей от начальных условий и флуктуаций. Основной объект исследования — средние и корреляционные функции. Пусть ⟨⋅⟩ обозначает усреднение (по ансамблю или времени):
поле средней скорости: $\bar{\mathbf{v}}(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) \rangle,$
флуктуации: $\mathbf{v}'(\mathbf{x}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) - \bar{\mathbf{v}}(\mathbf{x}),$
тензор Рейнольдса: Rij = ⟨v′iv′j⟩.
Подстановка в уравнение Навье–Стокса и усреднение даёт уравнения Рейнольдса, включающие тензор Рейнольдса как неизвестный, что приводит к замыкающей проблеме — необходимо выразить корреляции второго порядка через известные величины. Эта проблема решается с использованием моделей турбулентности, таких как k–ε модель, бюджетные уравнения энергии турбулентности и др.
Введем спектр энергии E(k), где k — волновое число. Турбулентный поток содержит широкий спектр масштабов от масштабов возбуждения L до масштабов диссипации η. В инерциальном интервале Колмогоров предположил самоподобие и масштабную инвариантность. Основной результат:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации кинетической энергии на единицу массы. Этот закон подтверждён многочисленными экспериментами и численными расчетами. Он отражает перераспределение энергии от больших к малым масштабам без потерь — каскад Колмогорова.
Хотя спектр k−5/3 является хорошим приближением, в реальных течениях наблюдаются флуктуации, которые не подчиняются простым масштабным соотношениям. Это явление называется интермиттентностью. Оно проявляется в хвостах распределения флуктуаций скорости, усилении редких, но интенсивных событий. Для учёта интермиттентности вводятся обобщённые многошкальные модели, основанные на мультифрактальной структуре турбулентности. Основной объект — моменты приращений скорости:
Sp(r) = ⟨|δv(r)|p⟩ ∼ rζp,
где δv(r) = v(x + r) − v(x), а ζp — спектр масштабных индексов. В модели Колмогорова-41: $\zeta_p = \frac{p}{3}$, но эксперименты дают сублинейную зависимость — признак мультифрактальности.
В физике конденсированных сред аналогичные методы применяются при изучении флуктуаций вблизи критической точки. Как и в турбулентности, здесь наблюдаются масштабные инвариантности, каскады корреляций и отсутствие характерного масштаба. В теории фазовых переходов ключевыми являются:
корреляционная функция порядка:
G(r) = ⟨ϕ(x)ϕ(x + r)⟩ − ⟨ϕ⟩2,
и её асимптотика при r → ∞:
$$ G(r) \sim \frac{1}{r^{d-2+\eta}}, $$
где η — критический индекс, d — размерность.
Критическое поведение описывается с помощью феноменологической теории Ландау, ренормгруппового анализа и универсальности, аналогично спектральной теории турбулентности. Здесь флуктуации порядка подчиняются аналогичным статистическим законам, что и вихревые структуры в турбулентных течениях.
Ренормгрупповые методы применимы как к фазовым переходам, так и к описанию турбулентности. Основная идея — изучение поведения системы при изменении масштаба наблюдения. Групповые преобразования приводят к течению в пространстве параметров и фиксации на аттракторах — фикспойнтах, соответствующих универсальным режимам.
Для фазовых переходов критического типа:
В турбулентности подобные подходы ведут к описанию многошкальной структуры каскада и обоснованию мультифрактальных моделей. Ренормгрупповой анализ уравнений Навье–Стокса, в том числе через функциональные интегралы, позволяет определять критические индексы, спектральные экспоненты и характерные функции корреляций.
В статистической физике важную роль играет флуктуационно-диссипативная теорема (теорема Флёкте–Кубо), устанавливающая связь между спонтанными флуктуациями и откликом системы. Аналогичная структура возникает и в турбулентности:
В обоих случаях — фазовых переходах и турбулентных потоках — система характеризуется интенсивной коллективной динамикой и требует стохастического описания.
Интересный мост между конденсированными средами и турбулентностью — это квантовая турбулентность в сверхтекучих жидкостях, таких как гелий II или конденсат Бозе–Эйнштейна. Здесь вихри — квантованные, имеют дискретную циркуляцию, и турбулентность проявляется в виде запутанных вихревых нитей. Несмотря на дискретность, спектр энергии таких турбулентных состояний приближается к классическому спектру Колмогорова.
Статистическое описание квантовой турбулентности требует объединения гидродинамики, квантовой теории поля и методов нелинейной динамики. Это создаёт уникальную область, где идеи теории фазовых переходов, ренормгруппы и турбулентности сливаются в единую структуру.
Современное развитие математической физики стремится объединить статистические, геометрические и топологические методы описания турбулентности и фазовых переходов. Используются:
Эти подходы позволяют строить универсальные описания сложных коллективных явлений, в которых отсутствует характерный масштаб, преобладают флуктуации, а поведение системы определяется глобальной структурой фазового пространства.