Магнитогидродинамика (МГД) описывает поведение электрически проводящей жидкости, в частности плазмы, в присутствии магнитного поля. Основной задачей МГД является совместное рассмотрение уравнений гидродинамики и уравнений электродинамики. Модель основывается на приближении непрерывной среды и макроскопическом описании.
Система уравнений МГД в наиболее общем виде включает:
Уравнение непрерывности (сохранение массы):
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
Уравнение движения (обобщённое уравнение Навье–Стокса):
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B} + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} $$
Уравнение индукции (из уравнений Максвелла и закона Ома):
$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta \mathbf{J}) $$
Закон Ампера (в квазистационарном приближении):
$$ \mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} $$
Условие дивергенции магнитного поля:
∇ ⋅ B = 0
Закон сохранения энергии (включая теплопроводность, излучение и джоулевы потери).
Эта система дополняется уравнением состояния, например для идеального газа:
p = ρRT
Плазма, как правило, находится в турбулентном состоянии. МГД-турбулентность представляет собой крайне сложный и многоуровневый процесс, характеризующийся наличием большого числа активных степеней свободы, каскадом энергии и нелинейными взаимодействиями между различными масштабами.
Турбулентность в МГД-плазме приводит к:
В отличие от гидродинамической турбулентности, в МГД важную роль играют напряжённости магнитного поля, поскольку они взаимодействуют с течениями, изменяют спектры флуктуаций и структуру энергии в каскаде.
Анализ МГД-турбулентности чаще всего проводится в спектральном пространстве. Для этого вводятся преобразования Фурье для всех полей:
$$ \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) = \int \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, t) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} d^3k $$
Спектральная плотность энергии плазмы определяется как:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \left( |\hat{\mathbf{v}}(\mathbf{k})|^2 + \frac{|\hat{\mathbf{B}}(\mathbf{k})|^2}{\mu_0 \rho} \right) $$
В МГД-турбулентности различают два режима каскада энергии:
Знаменитые спектральные законы включают:
Реализация одного из них зависит от соотношения между векторными компонентами скорости и магнитного поля, уровнем альфвеновской флуктуации, а также от наличия сильного направленного магнитного поля.
Для описания МГД-турбулентности используются статистические методы, аналогичные применяемым в классической турбулентности:
Корреляционные функции второго порядка:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩
Энергетический спектр через Фурье-образ корреляционной функции:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int R_{ii}(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3r $$
Статистическое замыкание — применяется методика как для уравнений МГД: уравнения для корреляционных функций приводят к бесконечной иерархии, требующей замыкания. Используются методы типа DIA (Direct Interaction Approximation), EDQNM (Eddy Damped Quasi Normal Markovian), РГ-анализ и др.
Функции распределения — в слабо и сильно турбулентных плазмах вероятностные распределения полей отклоняются от гауссовских, часто демонстрируют интермиттентность.
В МГД важную роль играют альфвеновские волны — колебания плазмы, распространяющиеся вдоль магнитных силовых линий. В случае сильного направленного магнитного поля, турбулентность может быть анизотропной: процессы вдоль и поперёк поля сильно различаются.
Для моделирования этого поведения применяются модели типа обобщённой слабой турбулентности, в которых взаимодействие происходит преимущественно между встречными волнами. Это приводит к формированию энергетических спектров, существенно отличающихся от изотропных моделей.
Анизотропия описывается введением спектров в продольном и поперечном направлениях:
$$ E(k_\perp, k_\parallel) \sim k_\perp^{-5/3} f\left( \frac{k_\parallel}{k_\perp^{2/3}} \right) $$
В МГД важными безразмерными параметрами являются:
Гидродинамическое число Рейнольдса:
$$ Re = \frac{VL}{\nu} $$
Магнитное число Рейнольдса:
$$ R_m = \frac{VL}{\eta} $$
Число Прандтля:
$$ Pr_m = \frac{R_m}{Re} = \frac{\nu}{\eta} $$
При больших Re и Rm система может быть подвержена развитию устойчивой и сложной турбулентности, что требует специальных численных методов и моделей замыкания.
Для исследования МГД-турбулентности активно применяются:
Особое внимание уделяется моделям Large Eddy Simulation (LES), в которых маломасштабные эффекты моделируются приближённо, а крупномасштабные — разрешаются точно.
Применение адаптивных сеток и высокоразрешающих схем (WENO, ENO, HLLD и др.) позволяет отслеживать сложные структуры: токовые слои, магнитные острова, реконнекцию.
Турбулентные потоки в МГД-плазме обладают интермиттентным характером — энергия неравномерно распределяется в пространстве и времени. Это приводит к локализованным структурам сильной диссипации, таким как токовые листы, где возможно возникновение магнитного пересоединения.
Статистика диссипативных событий (например, распределение по интенсивности и размеру токовых структур) демонстрирует пауэр-лоус распределения, указывая на самоподобие и фрактальные свойства турбулентных структур.
МГД-турбулентность имеет важнейшее значение в широком классе физических систем:
Точные теоретические и численные модели турбулентности в МГД позволяют создавать улучшенные схемы контроля и предсказания поведения плазмы как в лаборатории, так и в космосе.