Физика твердого тела и зонная теория

Турбулентность и статистические методы

Турбулентность представляет собой сложный режим движения жидкости или газа, характеризующийся нерегулярностью, многомасштабностью и наличием вихрей различного размера. В отличие от ламинарного режима, где движение упорядочено и предсказуемо, турбулентные потоки обладают сильной чувствительностью к начальным условиям и пространственно-временной хаотичностью. Основные признаки турбулентности:

Нелинейность уравнений движения: уравнение Навье–Стокса содержит нелинейный член, отвечающий за перенос импульса, что делает систему подверженной каскадному переносу энергии.
Широкий спектр масштабов: от крупномасштабных вихрей, определяемых внешними условиями, до мелкомасштабных структур, на которых происходит вязкое диссипативное затухание.
Детерминированный хаос: хотя уравнения движения строго определены, поведение решений непредсказуемо из-за экспоненциального роста малых возмущений.

Энергетический каскад и теория Колмогорова

Ключевое представление о структуре турбулентности было предложено А.Н. Колмогоровым в 1941 году. Согласно его гипотезам, в инерциальном диапазоне масштабов (между внешними и внутренними масштабами) происходит консервативный перенос энергии от крупных вихрей к более мелким:

Энергия, вводимая на больших масштабах, каскадирует в спектре к более мелким масштабам, не теряясь до масштаба, где действует вязкость.
Спектральная плотность энергии E(k) в этом диапазоне подчиняется закону:

E(k) ∼ ε^2/3k^−5/3

где ε — скорость диссипации энергии, k — волновое число.

Статистическое описание турбулентности

Турбулентность в силу своей сложности описывается не в терминах детерминированных решений, а статистически. Основные методы:

Средние значения и флуктуации

Пусть u_i(x, t) — компонент скорости. Она представляется как сумма средней и флуктуирующей части:

u_i(x, t) = ⟨u_i⟩ + u_i′

где ⟨u_i⟩ — осреднение по ансамблю или времени, u_i′ — флуктуация.

Уравнения Рейнольдса

Подставляя разложение в уравнение Навье–Стокса и осредняя, получаем уравнение для осреднённого потока:

$$ \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial t} + \langle u_j \rangle \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \langle u_i \rangle}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle u_i' u_j' \rangle}{\partial x_j} $$

Здесь тензор Рейнольдсовых напряжений ⟨u_i′u_j′⟩ описывает вклад турбулентных флуктуаций, и его необходимо моделировать.

Спектральные методы и функции корреляции

Для анализа турбулентных полей используются:

Корреляционные функции второго порядка, например:

R_ij(r) = ⟨u_i(x)u_j(x + r)⟩
Энергетические спектры: после преобразования Фурье корреляционных функций можно получить спектр энергии E(k).
Функции структуры, характеризующие масштабную зависимость флуктуаций:

S_p(r) = ⟨|u(x + r) − u(x)|^p⟩

Особый интерес вызывает вторая функция структуры S₂(r), из которой следует закон Колмогорова:

S₂(r) ∼ (εr)^2/3

Моделирование турбулентности

Реалистичное моделирование турбулентных потоков требует приближённых схем, так как прямое численное решение уравнений при всех масштабах (DNS) крайне ресурсоёмко.

RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes)

Используется модель закрытия турбулентных напряжений через турбулентную вязкость, например, модель k–ε.

LES (Large Eddy Simulation)

Численно разрешаются крупномасштабные вихри, а мелкие — моделируются субсеточной моделью.

DNS (Direct Numerical Simulation)

Полное численное решение уравнений без приближений, доступно только при низких числах Рейнольдса.

Физика твёрдого тела и зонная теория

Периодические потенциалы и кристаллическая структура

Атомы в твёрдом теле располагаются в периодической решётке, что приводит к возникновению периодического потенциала для электронов. В рамках приближения одноэлектронного гамильтониана:

$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\mathbf{r}), \quad V(\mathbf{r} + \mathbf{R}) = V(\mathbf{r}) $$

где R — вектор трансляции кристаллической решётки.

Решение уравнения Шрёдингера в таком потенциале даёт волновые функции Блоха:

ψ_nk(r) = e^ik ⋅ ru_nk(r)

где u_nk(r) — функция с периодичностью решётки, k — волновой вектор, n — номер зоны.

Зонная структура и запрещённые зоны

Энергетический спектр электронов дискретизуется в виде энергетических зон:

Зона проводимости и валентная зона отделены запрещённой зоной (gap).
В металлах валентная зона перекрывается с зоной проводимости.
В полупроводниках и диэлектриках существует разрыв, его ширина определяет проводимость.

Ключевым элементом является зонная диаграмма, показывающая зависимость энергии E(k) от кристаллографического направления.

Эффективная масса и приближение квадратичного минимума

Возле экстремума зоны (например, дна зоны проводимости) можно разложить зависимость энергии:

$$ E(\mathbf{k}) \approx E_0 + \frac{\hbar^2 |\mathbf{k}|^2}{2m^*} $$

где m^* — эффективная масса электрона. Она учитывает кривизну зоны и может быть анизотропной и даже отрицательной (для дырок).

Плотность состояний и заполнение зон

Плотность состояний g(E) определяет число доступных электронных состояний на единицу энергии. При определении заполнения зон учитывается распределение Ферми–Дирака:

$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + 1} $$

где μ — химический потенциал, T — температура.

В полупроводниках при T > 0 электроны из валентной зоны могут быть возбуждены в зону проводимости, создавая электронно-дырочные пары.

Зонная теория в различных материалах

Металлы: зона проводимости частично заполнена, отсутствует запрещённая зона.
Полупроводники: ширина запрещённой зоны порядка 1–2 эВ. Проводимость регулируется легированием.
Диэлектрики: запрещённая зона шире 5 эВ, проводимость крайне низкая.

Эффекты взаимодействий и отклонения от идеальной теории

Хотя зонная теория строится в приближении независимых электронов, включение взаимодействий приводит к ряду коррекций:

Квазичастицы и массивные фермионы возникают как возбуждения с модифицированными свойствами.
Возникают коллективные моды, такие как плазмоны и магноны.
В системах с сильной корреляцией могут возникать явления типа ферромагнетизма, сверхпроводимости или локализации.

Роль симметрий и топологических свойств

Современная физика твёрдого тела выходит за рамки обычной зонной теории, включая топологические аспекты:

Изоляторы Тополяка, у которых зона заполнена, но присутствуют устойчивые краевые состояния.
Аномальный эффект Холла, обусловленный геометрией зон и фазой Берри.
Симметрии кристалла определяют вырождение и разветвление зон в точках Бриллюэна.