Турбулентность — это режим движения жидкости или газа, характеризующийся беспорядочными, неустойчивыми и многомасштабными вихревыми структурами. Классическое уравнение Навье–Стокса, описывающее вязкое движение, строго определяет эволюцию скорости, однако на практике прямое решение для турбулентных течений практически невозможно. Причина — колоссальная чувствительность к начальному условию и наличие огромного количества активных степеней свободы. Именно поэтому статистический подход становится основным инструментом исследования турбулентности.
Пусть u(x, t) — вектор скорости в произвольной точке пространства и времени. Разложим поле на среднюю составляющую и флуктуации:
$$ \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}, t) + \mathbf{u}'(\mathbf{x}, t) $$
где $\overline{\mathbf{u}}$ — усреднённое поле, а u′ — флуктуационная компонента. Аналогично вводятся разложения для давления и других величин.
При подстановке в уравнение Навье–Стокса и последующем усреднении возникает дополнительный тензор Рейнольдса:
$$ R_{ij} = \overline{u_i' u_j'} $$
Он представляет собой тензорный вклад, описывающий перенос импульса флуктуациями и выступающий как дополнительная вязкость. Однако замкнуть уравнения без введения дополнительных предположений невозможно — отсюда следует так называемая проблема замыкания.
Существуют разные эмпирические и теоретические модели, замыкающие систему:
Модель Буссинеска: предполагает линейную связь тензора Рейнольдса с градиентами среднего поля.
$$ R_{ij} \approx -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) $$
k–ε модель: описывает турбулентную вязкость через два дополнительных транспортных уравнения: для кинетической энергии турбулентности k и её диссипации ε.
$$ \frac{Dk}{Dt} = P - \epsilon + \nabla \cdot \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_k} \right) \nabla k \right] $$
Модели второго порядка: учитывают уравнения для корреляционных функций и используют гипотезы о масштабе.
Фурье-анализ позволяет перейти от пространственного описания к спектральному. Основная концепция — распределение энергии по волновым числам (масштабам):
E(k) dk — энергия, заключённая в интервале [k, k + dk]
В инерционном интервале, где вязкость незначительна, справедливо приближение Колмогорова:
E(k) ∼ ϵ2/3k−5/3
Здесь ϵ — средняя скорость диссипации энергии. Эта зависимость подтверждена как теоретически, так и экспериментально. На малых масштабах (высокие k) доминирует вязкое затухание, тогда как на больших — энергетическое питание из внешнего источника.
В реальных течениях отклонения от модели Колмогорова проявляются в виде интермиттентности — пространственно-временных всплесков интенсивности. Это ведёт к нарушению самоподобия и необходимости учета многофрактальных моделей турбулентности. Последние описывают распределение энергетических диссипаций по фрактальному спектру размерностей.
Переходим к фрактальной и хаотической структуре турбулентности.
Фракталы — геометрические объекты, обладающие дробной размерностью и самоподобной структурой на множестве масштабов. Турбулентность содержит в себе такие структуры на всех уровнях разложения вихрей.
Фрактальная размерность D характеризует, как количество элементов масштаба δ растёт при уменьшении масштаба:
N(δ) ∼ δ−D
Применительно к турбулентности, фрактальные свойства проявляются в:
Хаос в турбулентности — не синоним беспорядка, а проявление детерминированной непредсказуемости. Система, описываемая уравнениями Навье–Стокса, строго детерминирована, но чувствительность к начальным условиям делает поведение непредсказуемым при малейших отклонениях.
Ляпуновские экспоненты характеризуют экспоненциальное расхождение траекторий:
δ(t) ∼ δ(0)eλt
Положительное значение старшего Ляпуновского показателя λ > 0 свидетельствует о хаотическом режиме.
При анализе системы в фазовом пространстве наблюдаются странные аттракторы — множества, к которым стремится траектория системы, но которые имеют фрактальную топологию. Один из первых примеров — аттрактор Лоренца, описывающий идеализированное атмосферное движение:
$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma(y - x) \\ \dot{y} = x(\rho - z) - y \\ \dot{z} = xy - \beta z \end{cases} $$
Этот простой трёхмерный нелинейный набор уравнений демонстрирует ключевые свойства турбулентных систем: чувствительность, неустойчивость и многомасштабность.
Фрактальные структуры и хаотическая динамика в турбулентности тесно связаны с современными подходами нелинейной статистической физики:
Одним из подходов является представление развития флуктуаций как стохастического процесса:
$$ du = -\gamma u \, dt + \sqrt{2D} \, dW(t) $$
где W(t) — винеровский процесс, γ — коэффициент затухания, D — интенсивность шума. Такое описание приводит к уравнению Фоккера–Планка для плотности вероятности:
$$ \frac{\partial P(u, t)}{\partial t} = \gamma \frac{\partial}{\partial u} \left[ u P \right] + D \frac{\partial^2 P}{\partial u^2} $$
Эти модели объясняют статистические свойства флуктуаций и их эволюцию во времени.
Современная картина турбулентности — результат объединения детерминированной хаотической динамики, фрактальных пространственных структур и стохастической статистики. Эта синергия позволяет строить более точные модели переноса, диссипации, взаимодействия масштабов и предсказывать поведение сложных физических систем.