Функции Бесселя возникают как решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
$$ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2) y = 0, $$
где ν — параметр (порядок функции), который может быть как целым, так и дробным числом. Это уравнение имеет два линейно независимых решения, называемых функциями Бесселя первого рода Jν(x) и второго рода Yν(x).
При ν = n ∈ ℤ, функции Jn(x) аналитичны при x = 0, тогда как Yn(x) обладают логарифмической сингулярностью.
Функции Jν(x) ортогональны на отрезке [0, a] с весом x:
$$ \int_0^a x J_\nu\left( \frac{\alpha_{\nu m} x}{a} \right) J_\nu\left( \frac{\alpha_{\nu n} x}{a} \right) dx = 0,\quad m \ne n, $$
где ανn — n-й положительный корень уравнения Jν(x) = 0.
Для больших x:
$$ J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\left( x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right), \quad x \to \infty, $$
$$ Y_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin\left( x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right). $$
Для малых x и ν ≠ 0:
$$ J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^\nu, \quad x \to 0. $$
$$ \frac{2\nu}{x} J_\nu(x) = J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x),\quad \frac{d}{dx} J_\nu(x) = \frac{1}{2} \left( J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) \right). $$
Аналогично разложениям в ряды Фурье, функции, определённые на интервале [0, a], можно разложить по ортонормированной системе:
$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n J_\nu\left( \frac{\alpha_{\nu n} x}{a} \right),\quad c_n = \frac{2}{a^2 J_{\nu+1}^2(\alpha_{\nu n})} \int_0^a x f(x) J_\nu\left( \frac{\alpha_{\nu n} x}{a} \right) dx. $$
Такое разложение особенно удобно при решении задач с цилиндрической симметрией.
Рассмотрим уравнение Лапласа в цилиндрических координатах без зависимости от оси z:
$$ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} = 0. $$
Методом разделения переменных получаем обыкновенное дифференциальное уравнение по r:
r2R″ + rR′ + (k2r2 − n2)R = 0,
что совпадает с уравнением Бесселя. Решения: R(r) = Jn(kr), Yn(kr).
Колебания круглой мембраны описываются волновым уравнением в цилиндрических координатах. После применения метода разделения переменных решение имеет вид:
$$ u(r,\varphi,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \left[ A_{nm} \cos(\omega_{nm} t) + B_{nm} \sin(\omega_{nm} t) \right] J_n\left( \frac{\alpha_{nm} r}{a} \right) \cos(n\varphi), $$
где $\omega_{nm} = \frac{\alpha_{nm}}{a} c$, а αnm — m-й нуль функции Jn.
Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right). $$
При соответствующей симметрии и граничных условиях решение по r будет включать функции Бесселя.
Для описания радиально расходящихся волн применяются функции Ханкеля:
Hν(1)(x) = Jν(x) + iYν(x), Hν(2)(x) = Jν(x) − iYν(x).
Они применяются в задачах дифракции, рассеяния, в электродинамике и акустике. Функции Ханкеля описывают волны, распространяющиеся от источника (H(1)) и к источнику (H(2)).
В задачах квантовой механики, например, при решении уравнения Шрёдингера в цилиндрически симметричном потенциале, радиальная часть уравнения также приводит к уравнению Бесселя.
Особый интерес представляют спектральные задачи типа:
$$ \begin{cases} x^2 y'' + x y' + (\lambda x^2 - \nu^2) y = 0, \\ y(0) < \infty,\quad y(a) = 0. \end{cases} $$
Спектр таких задач дискретен, собственные значения λn связаны с нулями ανn функции Jν(x): $\lambda_n = \left( \frac{\alpha_{\nu n}}{a} \right)^2$.
Собственные функции:
$$ y_n(x) = J_\nu\left( \frac{\alpha_{\nu n} x}{a} \right). $$
Они образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2([0, a], xdx).
Аналогично преобразованию Фурье, существует преобразование Ханкеля порядка ν:
f̃(k) = ∫0∞f(r)Jν(kr)r dr, f(r) = ∫0∞f̃(k)Jν(kr)k dk.
Это преобразование незаменимо при решении радиально-симметричных задач в бесконечной области. Оно применяется в теориях рассеяния, электромагнитных волнах, оптике.
Функции Бесселя табулированы и доступны в большинстве библиотек численного анализа. Их значения, производные и нули легко вычисляются с высокой точностью. Это позволяет эффективно использовать их при решении краевых задач методом Галёркина, конечных разностей, конечноэлементным методом и др.
Особое значение имеют нули Jn(x), которые выступают в роли спектра операторов в цилиндрически симметричных областях. Точное знание этих нулей необходимо при оценке собственных частот, мод и гармоник в задачах физики сплошной среды.
В задачах статистической физики с цилиндрической симметрией функции Бесселя появляются в выражениях корреляционных функций. Например, при описании изотропных флуктуаций температуры или плотности вероятностей на плоскости. Корреляционные функции типа:
C(r) = ∫0∞E(k)J0(kr)k dk,
где E(k) — спектральная плотность, определяют структуру турбулентного поля на различных масштабах. Это ключевой элемент в теории Грина, функциях отклика и моделях энергии в вихревом каскаде.