Одной из ключевых задач математической физики является изучение спектральных свойств линейных дифференциальных операторов, возникающих в квантовой механике. Классическим примером такой задачи является одномерный квантовый гармонический осциллятор, описываемый уравнением Шрёдингера:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x), $$
где ψ(x) — волновая функция, E — энергия, ω — частота осциллятора, ℏ — приведённая постоянная Планка. После масштабирования переменных уравнение приводится к безразмерному виду:
$$ \left(-\frac{d^2}{d\xi^2} + \xi^2 \right) \psi(\xi) = \varepsilon \psi(\xi), $$
где $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$, $\varepsilon = \frac{2E}{\hbar\omega}$. Это уравнение допускает аналитическое решение с помощью функций Эрмита, которые играют роль собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора.
Полиномы Эрмита Hn(x) определяются рекуррентным соотношением:
H0(x) = 1, H1(x) = 2x, Hn + 1(x) = 2xHn(x) − 2nHn − 1(x),
и удовлетворяют дифференциальному уравнению:
Hn″(x) − 2xHn′(x) + 2nHn(x) = 0.
Ортогональность полиномов Эрмита обеспечивается весовой функцией Гаусса:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} H_n(x) H_m(x) e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} 2^n n! \delta_{nm}. $$
Функции вида
ψn(x) = NnHn(x)e−x2/2
где Nn — нормировочная константа, образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L2(ℝ). Эти функции являются собственными функциями гамильтониана квантового осциллятора:
$$ \hat{H} \psi_n(x) = \left(-\frac{d^2}{dx^2} + x^2\right)\psi_n(x) = (2n+1) \psi_n(x). $$
Таким образом, собственные значения энергии квантового гармонического осциллятора квантованы и имеют вид:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$
В квантовой теории осциллятора особую роль играют операторы рождения a† и уничтожения a, определяемые как:
$$ a = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(x + \frac{d}{dx} \right), \quad a^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(x - \frac{d}{dx} \right), $$
с коммутационным соотношением:
[a, a†] = 1.
Оператор гамильтониана выражается через эти операторы:
$$ \hat{H} = a^\dagger a + \frac{1}{2}. $$
Функции ψn(x) удовлетворяют отношениям:
$$ a \psi_n = \sqrt{n} \psi_{n-1}, \quad a^\dagger \psi_n = \sqrt{n+1} \psi_{n+1}, $$
что позволяет построить все собственные функции последовательно, начиная с основного состояния ψ0(x) ∼ e−x2/2.
Функции Эрмита имеют важное значение и за пределами квантовой механики. В частности, они играют фундаментальную роль в статистическом описании флуктуаций и разложениях стохастических процессов.
В теории турбулентности, особенно в подходах, основанных на кинетических уравнениях, Эрмитовы разложения используются при описании функций распределения молекул в фазовом пространстве. Пусть f(x, v, t) — функция распределения скоростей. Вблизи локального равновесия она разлагается по ортогональному базису:
$$ f(v) = f_M(v) \left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n H_n\left(\frac{v - \bar{v}}{\sqrt{2T}}\right) \right], $$
где fM(v) — максвелловское распределение, T — температура. Такие разложения называются Градовскими расширениями и применяются при выводе гидродинамических уравнений из кинетических, включая модели переходного режима между ламинарным и турбулентным течениями.
Кроме того, полиномы Эрмита используются в численных методах для моделирования турбулентных течений, например в методе решётчатого Больцмана, где распределение молекул по скоростям моделируется через конечное число моментов, выраженных через функции Эрмита.
В контексте флуктуационно-диссипативных явлений, волновые функции осциллятора описывают не только энергетические уровни, но и вероятностное распределение состояний. Основное состояние соответствует наиболее вероятной конфигурации, а возбуждённые состояния описывают флуктуационные отклонения. Таким образом, эрмитовские функции формируют базис в пространстве возможных флуктуаций, аналогично модам в турбулентном спектре.
Анализ при больших n даёт представления для полиномов Эрмита:
Hn(x) ∼ 2nxn, при |x| ≫ 1,
что используется при оценке высокоэнергетических состояний и асимптотического поведения квантовых систем. В статистической механике это соответствует пределу высокой температуры, где уровни энергии стремительно сгущаются и переходят к непрерывному спектру.
Кроме того, при n → ∞ функции ψn(x) локализуются около классической траектории и подчиняются квазиклассическому приближению ВКБ (вне зон запрещённых значений энергии), что отражает переход от квантового описания к статистическому.
Поскольку ψn(x) составляют ортонормированный базис в L2(ℝ, e−x2dx), они используются для построения разложений случайных процессов (например, процессов Орнштейна–Уленбека), возникающих при моделировании турбулентных флуктуаций в стохастической гидродинамике. Эти разложения дают аналог Фурье-представлений, но адаптированы к гауссовским мерам.
Таким образом, функции Эрмита служат не только решением конкретной задачи квантового осциллятора, но и универсальным инструментом анализа в статистической и турбулентной физике.