В условиях турбулентного режима уравнения Навье–Стокса остаются фундаментальными, однако их точное решение практически невозможно из-за высокой чувствительности к начальным условиям и сложной структуры вихревых взаимодействий. В связи с этим статистический подход становится необходимым. Вместо поиска конкретного вектора скорости и давления рассматриваются статистические характеристики потока — средние значения, корреляционные функции, спектры энергии и др.
Рассмотрим поле скорости v(x, t). В статистической гидродинамике основное внимание уделяется среднему полю
$$ \overline{\mathbf{v}}(\mathbf{x}, t) = \langle \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) \rangle, $$
а также флуктуациям
$$ \mathbf{v}'(\mathbf{x}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) - \overline{\mathbf{v}}(\mathbf{x}, t). $$
Такая декомпозиция лежит в основе метода Рейнольдса, где усреднённые уравнения содержат дополнительные корреляционные члены — так называемые напряжения Рейнольдса, порождающие закрытую проблему.
Подставляя разложение поля скорости в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнение Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial t} + \overline{v}_j \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \Delta \overline{v}_i - \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \overline{v'_i v'_j} \right). $$
Тензор напряжений Рейнольдса $R_{ij} = \overline{v'_i v'_j}$ характеризует вклад турбулентных пульсаций в перенос импульса. Однако его выражение через известные поля невозможно без дополнительных гипотез — возникает задача замыкания уравнений.
Наиболее известная модель первого порядка — гипотеза Буссинеска, в которой напряжения Рейнольдса аппроксимируются через градиент среднего поля:
$$ R_{ij} = - \nu_t \left( \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{v}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \overline{v'_i v'_i}$ — турбулентная кинетическая энергия. Для получения νt используются различные модели: k–ε, k–ω, дифференциальные модели второго порядка и т.д. Каждая из них требует дополнительных уравнений и эмпирических констант.
Важнейшим объектом статистического анализа являются корреляционные функции второго порядка, например, для изотропной турбулентности:
Rij(r) = ⟨vi(x)vj(x + r)⟩.
Через преобразование Фурье можно ввести спектр энергии:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int_{|\mathbf{k}|=k} \hat{R}_{ii}(\mathbf{k}) \, d\Omega_k. $$
Спектр энергии играет ключевую роль в анализе каскадов переноса энергии. Согласно гипотезе Колмогорова, в инерциальном интервале (между масштабом возбуждения и масштабом диссипации) спектр имеет универсальный вид:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации турбулентной энергии.
Формализм уравнений спектра можно обобщить, используя уравнение Ландау–Хопфа–Колмогорова или уравнение Винера–Хинчина, связывающее спектральную плотность с автокорреляционной функцией:
R̂ij(k) = ∫ℝ3Rij(r)e−ik ⋅ r dr.
Развитые методы закрытия уравнений для спектра включают:
Функции Грина являются фундаментальным инструментом при решении линейных дифференциальных уравнений в математической физике. Пусть L — линейный дифференциальный оператор, действующий на функции из некоторого функционального пространства. Тогда решение уравнения
Lu = f
можно представить в виде свёртки:
u(x) = ∫ΩG(x, ξ)f(ξ) dξ,
где G(x, ξ) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению:
LxG(x, ξ) = δ(x − ξ),
при соответствующих граничных условиях.
Функции Грина строятся индивидуально для каждой постановки задачи и зависят от области, оператора и типа граничных условий.
В евклидовой области ℝ3 фундаментальное решение для уравнения Лапласа имеет вид:
$$ G(x, \xi) = -\frac{1}{4\pi |x - \xi|}. $$
Для ограниченной области Ω ⊂ ℝn функция Грина строится с учётом граничных условий, например, с помощью метода зеркальных источников или разложения по собственным функциям лапласиана.
В случае уравнения Пуассона:
−Δu = f(x), x ∈ Ω,
решение при нулевых граничных условиях имеет интегральное представление:
u(x) = ∫ΩG(x, ξ)f(ξ) dξ.
Для одномерного уравнения теплопроводности:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x, t), $$
фундаментальное решение (в бесконечной области) имеет вид:
$$ G(x, t; \xi, \tau) = \frac{1}{\sqrt{4\pi a^2 (t - \tau)}} \exp\left( -\frac{(x - \xi)^2}{4a^2 (t - \tau)} \right), \quad t > \tau. $$
Решение задачи Коши:
u(x, t) = ∫−∞∞G(x, t; ξ, 0)u0(ξ) dξ + ∫0t∫−∞∞G(x, t; ξ, τ)f(ξ, τ) dξdτ.
При наличии дискретного спектра оператора L, можно представить функцию Грина в виде разложения:
$$ G(x, \xi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{\lambda_n}, $$
где {ϕn} — ортонормированный базис собственных функций, {λn} — соответствующие собственные значения.
Такое представление особенно полезно при численном решении краевых задач, а также в задачах с переменными коэффициентами, где аналитическое выражение невозможно.
Функции Грина применимы не только в линейных задачах, но и как часть линеризованного анализа сложных уравнений, возникающих в турбулентности. Например:
Таким образом, интегральные представления, основанные на функциях Грина, позволяют перейти от локального дифференциального формализма к глобальному описанию, что особенно важно в контексте нестационарных и пространственно неоднородных задач математической физики.