Функции Лагерра в теории атома водорода и статистических методах описания турбулентности
В нерелятивистской квантовой механике задача о водородоподобном атоме сводится к нахождению собственных функций оператора Гамильтона, содержащего кулоновский потенциал:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 - \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, $$
где μ — приведённая масса электрона и ядра, Z — заряд ядра (для водорода Z = 1), r — расстояние от ядра.
Решение уравнения Шрёдингера
Ĥψ = Eψ
в сферических координатах приводит к отделению переменных, где радиальная часть уравнения принимает вид:
$$ \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + \left[ \frac{2\mu r^2}{\hbar^2} \left( E + \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \right) - \ell(\ell+1) \right] R = 0. $$
При переходе к безразмерной переменной $\rho = \frac{2Zr}{na_0}$, где a0 — боровский радиус, это уравнение сводится к уравнению, решаемому с помощью обобщённых (ассоциированных) полиномов Лагерра:
Rnℓ(ρ) = Nnℓ ρℓ e−ρ/2 Ln − ℓ − 12ℓ + 1(ρ),
где Lkα(ρ) — обобщённые полиномы Лагерра, Nnℓ — нормировочный множитель, n — главное квантовое число, ℓ — орбитальное квантовое число.
Полиномы Лагерра Ln(α)(x) определяются с помощью Rodrigues’ формулы:
$$ L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n!} x^{-\alpha} e^x \frac{d^n}{dx^n} \left( x^{n+\alpha} e^{-x} \right), $$
и удовлетворяют дифференциальному уравнению:
xy″ + (α + 1 − x)y′ + ny = 0.
Они ортогональны на полупрямой x ∈ [0, ∞) с весом w(x) = xαe−x:
$$ \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) dx = \frac{\Gamma(n + \alpha + 1)}{n!} \delta_{nm}. $$
Благодаря этим свойствам, функции Лагерра формируют полный ортонормированный базис в соответствующем гильбертовом пространстве, что обеспечивает разложение произвольных функций в виде ряда по Лагерровым функциям.
Функции Лагерра возникают не только в квантовой механике, но и в статистических подходах к турбулентности. Особенно это актуально при рассмотрении вероятностных распределений энергий, флуктуаций и моделей, основанных на представлении фазового пространства с экспоненциальными весами.
В задачах кинетической теории газов и турбулентности используется разложение распределения по функциям Лагерра при анализе отклонений от равновесных распределений. Например, в модели Чепмена-Энскогa для решения уравнения Больцмана можно применять лагеррово разложение функции отклонения от максвелловского распределения:
$$ f(v) = f_M(v) \left[ 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n L_n^{(1/2)}\left( \frac{mv^2}{2kT} \right) \right], $$
где fM(v) — максвелловское распределение, v — скорость частицы, m — масса, T — температура, k — постоянная Больцмана. Коэффициенты an зависят от условий турбулентного или неравновесного состояния среды.
Такой подход позволяет выделить вклады в неравновесные свойства (например, теплопроводность, вязкость, диффузию) через проекции на лагерровы базисные функции, каждая из которых соответствует определённому порядку отклонения от локального равновесия.
При статистическом моделировании турбулентных потоков часто применяются функциональные разложения флуктуаций по ортогональным базисам. Особенно эффективно это при моделировании с помощью численных методов, таких как метод Галёркина.
В этих подходах флуктуирующие компоненты скорости, давления или энергии раскладываются по лагерровым или смешанным полиномам (Лагерра и Эрмита) в зависимости от характера распределений. Это позволяет контролировать экспоненциальные хвосты распределений, типичные для турбулентных возмущений:
$$ u'(x,t) = \sum_{n=0}^N c_n(t) L_n^{(\alpha)}(x), $$
где u′(x, t) — флуктуационная часть скорости, cn(t) — временные коэффициенты.
Такие представления оказываются особенно полезными при анализе и моделировании:
Асимптотическое поведение лагерровых полиномов играет важную роль в анализе энергетических спектров. В пределе больших n:
$$ L_n^{(\alpha)}(x) \sim \frac{n^{\alpha/2 - 1/4}}{x^{\alpha/2 + 1/4}} \cos\left( 2\sqrt{nx} - \frac{\pi \alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right), $$
что позволяет использовать их в построении мультифрактальных и каскадных моделей турбулентности, где спектры флуктуаций имеют характерный осциллирующий характер на логарифмических шкалах длины или энергии.
Функции Лагерра естественно интегрируются в спектральные численные методы, где они обеспечивают высокую точность приближённого решения уравнений с экспоненциальными весами и открытым спектром. В контексте турбулентности их используют для:
В квантовой задаче водорода лагерровы функции возникают как результат скрытой симметрии задачи — симметрии группы SO(4), отражающей наличие дополнительного интеграла движения, вектора Рунге–Ленца. Эта же структура, переосмысленная, проявляется и в статистических моделях турбулентности через симметрии фазовых пространств, особенно при работе с хаотическими аттракторами и их инвариантными мерами.
В исследованиях развитой изотропной турбулентности лагерровы функции применяются при построении моделей диссипативных масштабов, когда энергетический спектр E(k) анализируется с помощью лагерровых базисов для выделения отклонений от универсального закона Колмогорова E(k) ∼ k−5/3 на малых и больших волновых числах.
Особую роль играют лагерровы коэффициенты в реконструкции статистических функций распределения при ограниченных данных (например, в экспериментах или DNS-симуляциях), где лагеррово разложение даёт способ для регуляризации и восстановления полноразмерной картины распределения энергии и интермиттентности.
Таким образом, функции Лагерра представляют собой не только математически удобный и физически интерпретируемый базис в задачах квантовой механики, но и мощный аналитико-численный инструмент в теории турбулентности, особенно в рамках статистических подходов и спектральных методов анализа.