Параболические цилиндрические функции в статистическом описании турбулентности
В задачах статистической теории турбулентности часто возникают линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, приводящие к уравнениям параболического типа. Одним из таких является уравнение параболического цилиндра, которое имеет вид:
$$ \frac{d^2 w}{dz^2} + \left( \lambda + \frac{1}{2} - \frac{z^2}{4} \right) w = 0, $$
где λ ∈ ℂ — спектральный параметр, а z ∈ ℝ — переменная, связанная с пространственным масштабом или скоростным градиентом. Это уравнение естественным образом возникает при статистическом анализе флуктуаций в изотропной турбулентности, особенно в приближении мелкомасштабной структуры.
Функции, являющиеся решениями этого уравнения, называются функциями параболического цилиндра, или функциями Вебера, и обозначаются как Dν(z), где ν связано с параметром λ.
При описании однородной и изотропной турбулентности часто применяется преобразование Фурье по пространственным координатам. Флуктуации скоростей и других физических величин представляются в виде суперпозиции гармоник, распределённых по спектру.
В случае, когда поля флуктуаций имеют гауссовский характер, и при использовании теории стохастических процессов, появляется необходимость в решении линейных уравнений, статистически усреднённых по ансамблю. В этом контексте параболические цилиндрические функции оказываются естественными базисными функциями, поскольку они:
При рассмотрении случайных скоростных полей, подчинённых определённой корреляционной структуре, часто используется приближение в виде линейного гауссовского процесса. Эволюция распределения таких процессов во времени описывается уравнением Фоккера-Планка. Его одномерный стационарный вид, при наличии квадратичного потенциала, сводится к уравнению Вебера:
$$ \frac{d^2 w}{dz^2} - z \frac{d w}{dz} + \lambda w = 0, $$
которое приводится к стандартной форме уравнения параболического цилиндра при замене переменных. Решения этого уравнения описывают стационарные распределения скоростей или других флуктуирующих величин в приближении случайного процесса Орнштейна–Уленбека.
Функции Dν(z) здесь определяют вероятность нахождения системы в состоянии с определённой скоростью z, а также используются для анализа спектра возмущений и их устойчивости.
Функции Вебера Dν(z) обладают рядом аналитических и асимптотических свойств, важных при применении в турбулентности:
Асимптотика при больших |z|:
Dν(z) ∼ zνe−z2/4, |z| → ∞,
что обеспечивает экспоненциальное затухание вклада высокочастотных флуктуаций.
Ортогональность по весу e−z2:
∫−∞∞Dν(z)Dμ(z)e−z2dz = 0, ν ≠ μ,
что делает их удобными для построения ортонормированных статистических разложений.
Рекуррентные соотношения:
$$ D_{\nu+1}(z) = z D_\nu(z) - \frac{d}{dz} D_\nu(z), $$
позволяющие эффективно вычислять функции при разных значениях параметра.
Эти свойства позволяют применять функции Dν(z) в качественном и количественном описании турбулентных флуктуаций.
Мелкомасштабная структура турбулентности подчиняется законам, вытекающим из предположения о локальной изотропии. В приближении линейного градиента скорости можно свести описание турбулентного движения к уравнениям типа Штурма–Лиувилля, приводящим к спектральным задачам с функциями параболического цилиндра.
Рассмотрим, например, модель турбулентного вихря, вблизи которого скорости описываются как:
u(x) ≈ Axe−αx2,
что после статистического усреднения по ансамблю вихрей приводит к уравнению для функции корреляции в виде:
$$ \frac{d^2 C}{dx^2} + \left( \lambda - \alpha^2 x^2 \right) C = 0, $$
которое после масштабирования переходит в уравнение параболического цилиндра. Таким образом, $C(x) \sim D_\nu(\sqrt{\alpha} x)$, где параметры зависят от характеристик вихрей.
При моделировании турбулентных скоростей в стохастических методах (например, метод Монте-Карло, метод стохастического Галёркина) важно разлагать случайные поля в ортогональный базис. При наличии гауссовской статистики основным базисом становятся полиномы Гермита, но при наличии градиентов или асимметрий — функции Вебера оказываются более точными.
Такой подход приводит к декомпозиции Кархуна–Лоева, где автокорреляционная функция процесса разлагается в ряд по собственным функциям, коими часто и выступают Dν(z). Это позволяет построить численные модели турбулентности, сохраняющие ключевые статистические свойства, включая корреляции, дисперсии, энергию.
Несмотря на то, что функции параболического цилиндра чаще применяются при описании мелкомасштабных процессов, они также находят применение в описании крупномасштабной структуры, особенно при статистическом анализе структуры вихрей, возникающих в результате инверсного каскада энергии.
В этом контексте решаются задачи, где флуктуации давления и скорости обусловлены гауссовскими источниками в пространстве с квадратичным потенциалом, что приводит к уравнениям, аналогичным уравнению Вебера. Тем самым функции Dν(z) описывают распределения амплитуд крупных вихревых образований, что критично для статистического баланса энергии и энтропии в турбулентных течениях.
Функции параболического цилиндра тесно связаны с полиномами Гермита:
$$ D_n(z) = 2^{-n/2} e^{-z^2/4} H_n \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right), \quad n \in \mathbb{N}, $$
что демонстрирует преемственность от ортогональных полиномов в гауссовом весе к более общим функциям, подходящим для решений в случае непрерывного спектра. В статистической физике и квантовой механике аналогичная связь наблюдается при переходе от дискретных уровней энергии к квазиклассическим асимптотикам.
Такой синтез позволяет использовать функции Dν(z) в анализе турбулентных систем с переходными режимами — от ламинарного потока к полностью развитой турбулентности.
Численные методы, основанные на разложении по функциям параболического цилиндра, обеспечивают высокую точность при моделировании турбулентных потоков:
Преимущество этого подхода — в его точности при аппроксимации гауссовских флуктуаций и наличии устойчивых алгоритмов вычисления Dν(z) даже при комплексных аргументах.