Гипергеометрическая функция 2F1(a, b; c; z), являясь решением гипергеометрического дифференциального уравнения второго порядка
$$ z(1 - z) \frac{d^2 w}{dz^2} + [c - (a + b + 1)z] \frac{dw}{dz} - ab w = 0, $$
представляет собой мощный аналитический инструмент в различных задачах математической физики, в том числе — в теории турбулентности. Это уравнение обладает тремя регулярными особенными точками: z = 0, 1, ∞, и позволяет строить решения, обладающие хорошими аналитическими свойствами в окрестности каждой из них.
Функция 2F1(a, b; c; z) задаётся рядом:
$$ _2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}, \quad |z| < 1, $$
где (a)n — символ Похгаммера, определяемый как (a)n = a(a + 1)…(a + n − 1). При целых отрицательных c ряд расходится, однако можно использовать аналитическое продолжение и специальные преобразования (например, формулы Эйлера и Кобера), чтобы расширить область определения.
В турбулентной гидродинамике часто требуется анализировать статистические корреляционные функции, такие как ⟨ui(x)uj(x + r)⟩, зависящие от расстояния r. В изотропной турбулентности, особенно в приближениях слабой неравновесности, возникает необходимость в описании поведения решений уравнений второго порядка, связанных с распределениями энергии и энтропии.
Многие корреляционные и спектральные функции при статистическом анализе турбулентных потоков могут быть выражены в терминах гипергеометрических функций, особенно если рассматривать уравнения Больцмана, Ландау или Фоккера-Планка в специальном виде. Например, в линейном приближении к распределению вероятностей флуктуаций скорости можно получить обобщённое уравнение Бесселя или гипергеометрическое уравнение.
Типичный случай — функция распределения вероятностей P(ξ), удовлетворяющая уравнению
$$ \xi(1 - \xi) \frac{d^2P}{d\xi^2} + [\gamma - (\alpha + \beta + 1)\xi] \frac{dP}{d\xi} - \alpha\beta P = 0, $$
которое прямо сводится к 2F1(α, β; γ; ξ). Такие уравнения возникают при решении задач о флуктуациях энергии, углового момента или импульса в турбулентных областях, где применяется теория случайных полей.
Существуют обобщения гипергеометрической функции, такие как обобщённые гипергеометрические ряды:
$$ _pF_q(a_1, ..., a_p; b_1, ..., b_q; z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n \dots (a_p)_n}{(b_1)_n \dots (b_q)_n} \frac{z^n}{n!}, $$
где параметры ai и bj могут быть произвольными (в том числе комплексными). В задачах турбулентности функции типа 1F1 (конфлюэнтные гипергеометрические функции) применяются при описании распределений в уравнениях переноса энергии или импульса, особенно в контексте моделей с адиабатическим приближением или стационарных решений стохастических уравнений.
Конфлюэнтная гипергеометрическая функция 1F1(a; c; z), являющаяся решением уравнения Коши — Эйлера:
$$ z \frac{d^2w}{dz^2} + (c - z) \frac{dw}{dz} - a w = 0, $$
возникает в задачах о затухании возмущений и линейных откликах системы на стохастические воздействия. Такие модели применяются при исследовании диссипативных эффектов в субзональной турбулентности.
В задачах кинетической теории, связанных с турбулентной диффузией, движение частиц часто описывается через стохастические дифференциальные уравнения, приводящие к уравнениям Фоккера-Планка. Решения этих уравнений в радиальной симметрии могут быть сведены к уравнениям гипергеометрического типа. Например, стационарное уравнение Фоккера-Планка:
$$ \frac{d}{dx} \left[ A(x) P(x) \right] = \frac{d^2}{dx^2} \left[ B(x) P(x) \right], $$
при определённом выборе функций A(x), B(x), может быть сведено к дифференциальному уравнению, допускающему представление решения через 2F1 или 1F1.
Примером служит задача о распространении флуктуаций концентрации пассивного примеси в турбулентном потоке. Решение уравнения для распределения плотности концентрации может быть записано в виде:
$$ P(x) \propto e^{-x^2/2} \, _1F_1\left( \frac{1}{2} - \lambda; \frac{1}{2}; x^2 \right), $$
где параметр λ зависит от особенностей источника примеси и турбулентного поля.
Анализ предельных свойств гипергеометрических функций крайне важен в приложениях к турбулентности, поскольку реальные системы редко допускают точное аналитическое описание. Асимптотическое поведение функций 2F1(a, b; c; z) при z → 1, z → ∞ позволяет получить предельные оценки корреляционных функций, спектров и плотностей вероятностей.
Среди широко используемых представлений — формулы Эйлера и Гаусса:
$$ _2F_1(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c) \Gamma(c - a - b)}{\Gamma(c - a)\Gamma(c - b)}. $$
$$ _2F_1(a,b;c;z) \sim z^{-a} \frac{\Gamma(c)\Gamma(b - a)}{\Gamma(b)\Gamma(c - a)} + z^{-b} \frac{\Gamma(c)\Gamma(a - b)}{\Gamma(a)\Gamma(c - b)}. $$
Такие асимптотики применяются при описании дальнего поведения турбулентных флуктуаций и спектров плотности энергии в инерциальном интервале.
Гипергеометрические функции встречаются в моделях крупномасштабной геофизической турбулентности, где поток можно аппроксимировать осесимметричными решениями, например, в моделях струй или вихрей. В таких случаях уравнения на поток или скорость приводят к уравнениям Лежандра или связанных с ними функций, которые, в свою очередь, выражаются через гипергеометрические функции.
Например, сферические гармоники Ylm(θ, ϕ), возникающие при решении уравнения Лапласа в сферических координатах, включают функцию Лежандра Plm(cos θ), имеющую представление через 2F1:
$$ P_l^m(x) = \frac{(1 - x^2)^{m/2}}{2^l l!} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2 - 1)^l = \frac{(l + m)!}{m! (l - m)!} \, x^m \, _2F_1\left( -l + m, l + m + 1; m + 1; \frac{1 - x}{2} \right). $$
Такие выражения позволяют строить численные решения задач о глобальной циркуляции атмосферы, ветровых потоках и других явлениях крупномасштабной турбулентности.
Гипергеометрические функции представляют собой универсальный аналитический инструмент, позволяющий решать широкий круг задач в статистической теории турбулентности. Они естественно возникают как в линейных приближениях, так и в нелинейных асимптотических анализах, применяются при построении аналитических моделей и служат основой для построения численных схем высокой точности.