Турбулентность — это сложный, хаотический режим движения жидкости или газа, характеризующийся наличием широкого спектра вихрей различных масштабов, перемешиванием и быстрым затуханием корреляций. Основные признаки турбулентности включают:
Турбулентность описывается системой уравнений Навье–Стокса, однако их аналитическое решение в турбулентном режиме остаётся открытой проблемой.
Для работы с турбулентностью используется метод статистического осреднения. Величина ui(x⃗, t) представляется как сумма осреднённой (средней) и флуктуирующей части:
$$ u_i(\vec{x}, t) = \overline{u_i}(\vec{x}, t) + u_i'(\vec{x}, t) $$
где
При подстановке в уравнения Навье–Стокса и осреднении возникает дополнительный тензор Рейнольдсовых напряжений:
$$ R_{ij} = \overline{u_i' u_j'} $$
который характеризует влияние турбулентных пульсаций на среднее движение и требует замыкания.
Один из центральных вызовов — замыкание уравнений Рейнольдса. Без дополнительных предположений система уравнений не определена. Основные подходы:
Эвристические модели:
Статистические методы:
DNS (Direct Numerical Simulation) — прямое численное решение, без моделей замыкания, но требующее огромных ресурсов.
Спектральные методы позволяют анализировать распределение энергии по масштабам. В турбулентности наблюдается энергетический каскад: энергия вводится на крупных масштабах, затем переходит к меньшим и в итоге рассеивается вязкостью.
Вводится энергетический спектр E(k), определяющий распределение кинетической энергии по волновым числам k:
$$ \frac{1}{2} \overline{u_i u_i} = \int_0^\infty E(k) \, dk $$
В инерциальном диапазоне выполняется закон Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — скорость диссипации энергии на единицу массы.
Для описания структуры турбулентности вводятся n-точечные корреляционные функции:
$$ R_{ij}(\vec{r}) = \overline{u_i(\vec{x}) u_j(\vec{x} + \vec{r})} $$
и их спектры (через преобразование Фурье). Важную роль играют также:
Функции структуры:
$$ S_p(r) = \overline{|\delta u(r)|^p}, \quad \delta u(r) = u(x + r) - u(x) $$
Интермиттенция — неравномерность распределения диссипации в пространстве, приводящая к отклонениям от теории Колмогорова.
Турбулентность обладает статистической, но не случайной природой. Однако для практических задач часто используются стохастические модели, например:
Кристаллические структуры отличаются регулярностью, основанной на симметрии. Геометрическая симметрия определяется преобразованиями, сохраняющими решётку, включая:
Математически симметрия описывается группами преобразований.
Существуют два ключевых типа симметрии:
Эти группы классифицируют все возможные типы кристаллической симметрии в рамках евклидовой геометрии.
Решётки Браве — это возможные типы периодических трансляционных симметрий. В трёхмерном пространстве существует 14 решёток Браве, разделённых на 7 кристаллографических систем:
Каждая система допускает определённые точечные группы.
Для анализа физических свойств кристаллов применяется теория представлений. Ключевые идеи:
При рассмотрении симметрии в волновом пространстве используется группа Вейля, которая определяет симметрию в пространстве обратных решёток. Она определяет структуру первичной зоны Бриллюэна, где расположены состояния электрона и фонона.
Каждая симметрия обуславливает вырождения уровней энергии и запрещённые переходы. Это лежит в основе зонной теории твёрдого тела.
Физические величины, такие как тензоры упругости, пьезоэлектричества, магнитного момента, подчинены симметрии кристаллов:
Хотя кристаллические симметрии — дискретны, многие задачи (особенно в физике твёрдого тела) требуют обращения к непрерывным группам Ли, например, SU(2), SO(3), U(1). Они возникают при рассмотрении:
Переход от дискретных к непрерывным группам играет важную роль при изучении квантовой симметрии, фазовых переходов и топологических свойств.