Фундаментальная неопределённость в описании турбулентного потока
Турбулентность характеризуется хаотическим, апериодическим поведением потока, при котором полные детерминированные уравнения (в частности, уравнения Навье–Стокса) оказываются практически непригодными для описания структуры поля скоростей, давления и других характеристик. Основная трудность заключается в высокой чувствительности решений к начальным условиям и сложной нелинейной структуре взаимодействий различных масштабов.
Для изучения турбулентных течений в математической физике применяются методы статистики. Основным объектом становится не само конкретное решение уравнений движения жидкости, а средние значения соответствующих физических величин, их корреляционные функции и спектральные характеристики.
Пусть u(x, t) — векторное поле скорости в точке x и момент времени t. Разделим его на среднюю и флуктуационную часть:
$$ \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}, t) + \mathbf{u}'(\mathbf{x}, t), $$
где $\overline{\mathbf{u}}$ — среднее значение (обычно осреднение по ансамблю или по времени), а u′ — турбулентное отклонение.
Правила осреднения:
Подставляя разложение поля скорости в уравнение Навье–Стокса и проводя осреднение, получаем уравнения Рейнольдса, описывающие движение осреднённого поля:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j}, $$
где последний член — напряжения Рейнольдса $\overline{u_i' u_j'}$, которые моделируют эффект турбулентных флуктуаций.
Таким образом, статистическая теория турбулентности приводит к замкнутому описанию осреднённого движения, однако с появлением новых неизвестных — тензора корреляций второго порядка. Это требует применения дополнительных моделей (например, моделей турбулентности первого и второго порядка: k–ε, k–ω, RSM и др.).
Для описания структуры турбулентного потока широко применяются корреляционные функции:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{u_i(\mathbf{x}) u_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}, $$
которые описывают взаимосвязь между флуктуациями в двух точках пространства, разделённых вектором r. Их преобразование Фурье даёт спектральную плотность энергии:
E(k) = спектр кинетической энергии,
где k — волновое число. Знаменитый закон Колмогорова утверждает, что в инерциальном интервале:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации турбулентной энергии.
Для замыкания уравнений Рейнольдса часто используют приближение Буссинеска, в котором напряжения Рейнольдса моделируются аналогично вязкому напряжению:
$$ -\overline{u_i' u_j'} = \nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, а $k = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'}$ — турбулентная кинетическая энергия.
Математическая физика связывает начало турбулентности с потерей устойчивости ламинарных решений. Одним из подходов является использование методов теории бифуркаций и хаотических аттракторов в бесконечномерных фазовых пространствах. Однако в турбулентном режиме анализ устойчивости теряет смысл — вместо него применяются вероятностные описания и концепции эргодичности.
Для количественного анализа турбулентности применяются:
Все методы требуют статистической обработки результатов и анализа распределений, дисперсий и автокорреляционных функций.
Классическое поле и статистические характеристики излучения
Излучение электромагнитных волн сопровождается передачей энергии, импульса и момента, которые распределены в пространстве и времени. В классической электродинамике эти характеристики описываются с помощью векторного потенциала и тензора энергии-импульса, однако при наличии источников случайной природы (например, флуктуации плотности тока, шумовые диполи, терморадиация) необходимо применять статистические методы.
Для случайных электромагнитных полей определяют корреляционные функции полей:
$$ R_{E_i E_j}(\mathbf{r}, \tau) = \overline{E_i(\mathbf{x}, t) E_j(\mathbf{x} + \mathbf{r}, t + \tau)}, $$
$$ R_{B_i B_j}(\mathbf{r}, \tau) = \overline{B_i(\mathbf{x}, t) B_j(\mathbf{x} + \mathbf{r}, t + \tau)}, $$
которые позволяют вычислить спектральную плотность излучения и интенсивность излучения в различных частотных диапазонах.
В рамках квантовой статистической физики электромагнитное излучение описывается как ансамбль фотонов с распределением Бозе–Эйнштейна. Спектральная плотность излучения тела в тепловом равновесии при температуре T описывается законом Планка:
$$ u(\nu) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1}, $$
что позволяет связать статистику фотонного газа с макроскопическим потоком энергии.
Средняя плотность потока электромагнитной энергии определяется через вектор Пойтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}, $$
причём в случае случайных полей осреднение производится над ансамблем реализаций:
$$ \overline{\mathbf{S}} = \frac{1}{\mu_0} \, \overline{ \mathbf{E} \times \mathbf{B} }. $$
Это осреднение необходимо при анализе шумовых источников, интерференции, декогеренции и иных стохастических процессов.
В системах с источниками тепловой природы (например, проводник при температуре T) электрический ток подвержен флуктуациям, которые генерируют излучение. Согласно теореме флуктуационно-диссипативной теории (ФДТ):
SI(ω) = 4kT Re[Z(ω)],
где SI(ω) — спектральная плотность тока, Z(ω) — импеданс, T — температура. Это соединяет электродинамику с термодинамикой и статистической физикой.
Особый интерес представляет распространение излучения через турбулентную плазму или атмосферу. Флуктуации плотности заряда и тока модифицируют диэлектрическую проницаемость среды, что приводит к эффектам рассеяния, декогеренции, задержки фазы и статистических искажений формы волны.
Такие эффекты описываются через статистические характеристики флуктуаций, корреляционные функции диэлектрической функции и уравнения переноса интенсивности с учётом стохастических источников.