Фундаментальная роль симметрий в теории турбулентности
Калибровочная инвариантность — это принцип, согласно которому физические законы остаются неизменными при локальных преобразованиях определённых полей. В контексте турбулентности этот принцип приобретает важное значение, поскольку динамика вихрей и флуктуаций описывается через векторные и тензорные поля, обладающие внутренними симметриями. Например, уравнения Навье–Стокса, описывающие движение вязкой несжимаемой жидкости, инвариантны относительно глобальных и локальных преобразований, сохраняющих дивергентные свойства векторных полей.
Рассмотрим, как калибровочные симметрии проявляются в статистических методах анализа турбулентности.
Основой теоретического описания турбулентных течений служат уравнения Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}, \quad \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0, $$
где ui — компоненты скорости, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.
При статистическом усреднении, например, в подходе Рейнольдса, поле скорости представляется как сумма средней и флуктуирующей составляющей:
$$ u_i = \overline{u_i} + u_i', $$
где $\overline{u_i}$ — среднее значение, ui′ — флуктуации. Возникают новые члены — тензор Рейнольдса $R_{ij} = \overline{u_i' u_j'}$, который требует замыкания. Этот тензор подвержен преобразованиям, сохраняющим физическую инвариантность, что и связывает статистику с калибровочной симметрией.
Турбулентное течение можно представить как ансамбль взаимосвязанных вихрей различного масштаба. Пусть вихревое поле описывается псевдовектором ω = ∇ × u. Тогда при локальных изменениях фазы в представлении комплексного вихревого поля (например, через преобразование подобное ψ(x) → eiθ(x)ψ(x)) сохраняются важные статистические корреляции, если те зависят только от модуля |ψ|2, аналогично квантовой механике.
Эта локальная инвариантность проявляется в сохранении вихревого потока, когда меняются только фазы вихревых структур, но не их модули. Статистическое распределение таких вихрей можно интерпретировать как инвариантное при определённых калибровочных преобразованиях.
Турбулентность обладает ярко выраженной иерархией масштабов, от крупномасштабных мод до мелкомасштабной диссипации. Подобная иерархия эффективно описывается методами вейвлет-разложений или модальной декомпозицией (например, разложение в базис собственных мод оператора Лапласа). В этих разложениях можно ввести локальные фазовые преобразования мод, аналогичные калибровочным преобразованиям:
ak(x, t) → eiϕk(x, t)ak(x, t),
где ak — амплитуда соответствующей моды. Если наблюдаемые величины (например, спектры энергии или корреляционные функции) инвариантны при таких преобразованиях, можно говорить о наличии калибровочной симметрии в статистическом описании.
Особую роль играют флуктуации энергии по шкале, подчиняющиеся закону Колмогорова. Этот закон инвариантен относительно перенормировок масштаба, что соответствует аффинной калибровочной симметрии:
r → λr, δu(r) → λ1/3δu(r),
где δu(r) — приращение скорости на расстоянии r. Инвариантность таких масштабных соотношений отражает наличие масштабной калибровки.
Применение функционального интеграла в теории турбулентности позволяет строго учесть флуктуации полей. Один из подходов — формализм Мартина–Сигии–Роза–Джансена–де Доминис (MSRJD), в котором статистические свойства флуктуаций описываются через функциональные интегралы по полям u и сопряжённым полям $\tilde{\mathbf{u}}$:
$$ Z = \int \mathcal{D} \mathbf{u} \, \mathcal{D} \tilde{\mathbf{u}} \, e^{-S[\mathbf{u}, \tilde{\mathbf{u}}]}, $$
где S — эффективное действие, включающее исходные уравнения движения и корреляции шума. Этот функционал инвариантен при преобразованиях, аналогичных калибровочным, если они сохраняют структуру действия. Например, можно рассмотреть преобразования:
ũi(x, t) → ũi(x, t) + ϵ(x, t),
если они не нарушают дивергентности и сохраняют граничные условия. Наличие таких симметрий приводит к соотношениям типа Уорда–Такэхаси, ограничивающим форму допустимых корреляционных функций. Эти соотношения аналогичны законам сохранения, вытекающим из калибровочных симметрий в квантовой теории поля.
В реальных турбулентных течениях идеальные симметрии могут нарушаться в силу диссипативных эффектов, граничных условий и нелокальных взаимодействий. Такие нарушения — аналог калибровочных аномалий. Например, симметрия масштаба, лежащая в основе закона Колмогорова, нарушается на ультрафиолетовом конце спектра (в зоне диссипации). Эти отклонения формализуются через структуру “аномальных” вкладов в экспоненты корреляционных функций:
$$ \langle [\delta u(r)]^n \rangle \propto r^{\zeta_n}, \quad \zeta_n \neq \frac{n}{3}, $$
что отражает интермиттентность. Интермиттентность можно интерпретировать как спонтанное нарушение масштабной калибровки. Это делает теорию турбулентности родственной квантовой теории поля, где нарушения симметрий также играют важную роль в описании наблюдаемых величин.
Некоторые современные подходы к турбулентности формулируются на основе вариационного принципа действия, даже для диссипативных сред, с введением эффективного “времени отклика” или лангранжиана. Если такой лагранжиан инвариантен при локальных преобразованиях, соответствующих фазовым сдвигам, можно ввести аналог калибровочного потенциала Ai, играющего роль дополнительного поля, корректирующего фазу флуктуаций.
В рамках этого подхода можно рассматривать уравнение калибровочного типа:
Dtui = ∂tui + Aj∂jui + ⋯,
где Dt — калибровочно-ковариантная производная. Такая структура может быть полезна при построении замкнутых моделей для тензора Рейнольдса, учитывающих геометрию фазовых флуктуаций и их взаимодействие.
Современные методы машинного обучения, особенно физически информированные нейросети (PINNs), позволяют аппроксимировать динамику флуктуационных полей с сохранением симметрий. Введение калибровочной инвариантности как дополнительного ограничения может существенно улучшить устойчивость и обобщающую способность таких моделей. В частности, можно конструировать нейросети, выход которых инвариантен при локальных калибровочных преобразованиях или масштабных деформациях.
Это открывает путь к созданию статистических моделей турбулентности нового поколения, где калибровочные симметрии служат основой для регуляризации, аналогично теории поля.