Во многих физических системах поведение на больших масштабах не может быть однозначно выведено из микроскопических уравнений движения, особенно в условиях сильно развитой флуктуационной динамики, как в турбулентности или при фазовых переходах. Наблюдается явление масштабной инвариантности: структура уравнений или поведение физических величин сохраняются при изменении масштаба пространства и времени. Это особенно характерно для критических явлений, где корреляционная длина стремится к бесконечности, и для развитой турбулентности, где наблюдаются широкие инерционные интервалы.
Математическим инструментом, позволяющим анализировать такое поведение, является ренормализационная группа (РГ) — методология, основанная на последовательной декомпозиции и пересчёте эффектов различных масштабов. В отличие от классических методов теории возмущений, ренормализационная группа позволяет учитывать вклад флуктуаций на всех уровнях, от микроскопического до макроскопического.
Пусть имеется полевая теория, описывающая флуктуирующую величину, например, поле скорости v(x, t) или спиновую переменную ϕ(x). Рассмотрим её представление в виде эффективного действия S[ϕ], или, в статистической механике, — в виде функционала распределения Гиббса.
Процедура РГ включает три основных этапа:
Интегрирование по быстрым модам. Поле ϕ раскладывается по шкале мод ϕ = ϕ< + ϕ>, где ϕ> соответствует “быстрым”, коротковолновым флуктуациям с волновыми числами Λ/b < |k| < Λ, а ϕ< — “медленным” модам. Выполняется интегрирование по ϕ>, в результате чего получают новое эффективное действие для ϕ<.
Рескейлинг (перенормировка). Масштаб координат и поля изменяется:
x → x′ = x/b, ϕ(x) → ϕ′(x′) = bΔϕ(x),
где Δ — критическое масштабное (или аномальное) измерение поля.
Получение новых уравнений движения и β-функций. После масштабирования сравнивают структуру исходного действия и вновь полученного. Это приводит к дифференциальным уравнениям для параметров теории при изменении масштаба, называемым β-функциями.
Параметры, инвариантные при таких преобразованиях, называются фикспойнтами (неподвижными точками). Их стабильность определяет поведение теории на больших масштабах.
Применение методов РГ к гидродинамической турбулентности, особенно в рамках стохастических уравнений Навье–Стокса, даёт ключ к описанию спектра флуктуаций в инерционном интервале.
Рассмотрим стохастическую модель Навье–Стокса, возмущаемую случайной силой fi:
∂tvi + vj∂jvi = −∂ip + ν0∇2vi + fi,
∂ivi = 0.
Модель дополняется статистическим описанием fi, обычно гауссовым с корреляционной функцией:
⟨fi(k, ω)fj(k′, ω′)⟩ = 2D0k4 − d − yPij(k)δ(k + k′)δ(ω + ω′),
где Pij(k) — проектор на поперечные моды, y — аналог малости параметра (аналог ε = 4 − d в φ⁴-теории).
Применение диаграммной техники (по аналогии с квантовой теорией поля) и метода минимальной субтракции позволяет получить β-функции для безразмерного параметра турбулентности:
$$ g = \frac{D_0 \Lambda^{y}}{\nu_0^3}, $$
β(g) = −yg + β1g2 + β2g3 + …
Неподвижная точка g* определяется из уравнения β(g*) = 0, а её устойчивость определяет характер масштабного поведения — существует ли режим Колмогорова или отклонения от него.
При фазовых переходах второго рода, например в модели Изинга или O(N)-симметричных моделях спинов, РГ позволяет вычислить критические индексы: ν, η, γ, β, δ, определяющие масштабные законы вида:
ξ ∼ |T − Tc|−ν, C ∼ |T − Tc|−α, χ ∼ |T − Tc|−γ.
Уравнения РГ позволяют связать эти индексы между собой и определить универсальные классы — множество моделей, различающихся по микроскопическим деталям, но имеющих одинаковое критическое поведение. Например, модель перколяции и модель Изинга в двух измерениях имеют различные критические индексы и принадлежат разным универсальным классам.
В рамках ε-разложения (обычно ε = 4 − d), критические индексы разлагаются в ряды:
$$ \nu = \frac{1}{2} + \frac{N+2}{4(N+8)} \varepsilon + \ldots $$
Сопоставляя эти выражения с экспериментальными или численными данными, удаётся с высокой точностью предсказать поведение реальных систем.
Для неравновесных систем, включая турбулентность и реакции-диффузии, вводится динамическая ренормализационная группа (DRG), включающая в рассмотрение временную шкалу и корреляции во времени. Математически это реализуется через функционалы Жаржина–Де Доминашена или через представление Мартинов–Сигии–Роза.
Примером является модель пассивной скалярной примеси θ(x, t), переносящейся турбулентным потоком v, удовлетворяющая:
∂tθ + v ⋅ ∇θ = κ∇2θ + ζ(x, t),
где ζ — белый шум. РГ-анализ позволяет определить, при каких параметрах флуктуации скаляра подчиняются законам подобия, какие индексы характеризуют их спектр, и когда возможны отклонения от нормального поведения (аномальное скейлирование).
Одним из важных достижений применения РГ к турбулентности является объяснение аномального масштабирования: отступления от колмогоровского предсказания Sn(r) ∼ rn/3 для моментов приращений скорости.
Модель Краичнана пассивной примеси и её РГ-анализ показали, что наблюдается зависимость:
$$ S_n(r) \sim r^{\zeta_n}, \quad \zeta_n \neq \frac{n}{3}, $$
где ζn — нелинейная функция от n, объясняемая существованием бесконечного числа неренормализуемых операторов, отвечающих за мультифрактальную структуру турбулентного поля.
Каждая физическая система описывается набором параметров — констант взаимодействия, вязкости, температур, масс, коэффициентов шума и т. п. В процессе ренормализации они трансформируются согласно РГ-потоку:
$$ \frac{d g_i}{d \ln b} = \beta_i(\{g_j\}), $$
что позволяет определить траектории в пространстве теорий. В зависимости от начальных условий система может стремиться к различным фиксированным точкам, отвечающим за разные фазовые состояния: турбулентное, ламинарное, критическое или хаотическое.
Понятие аттрактора РГ позволяет обосновать устойчивость наблюдаемого макроскопического поведения к деталям микроскопической реализации.
Метод РГ применим:
Ренормализационная группа объединяет математическую строгость и физическую универсальность, предлагая единый язык для описания разнообразных явлений в нелинейной и флуктуирующей физике.