В условиях турбулентного режима движения жидкости поле скоростей приобретает хаотичный, нерегулярный характер, что делает невозможным полное детерминированное описание его во времени и пространстве. В этих условиях применяется статистический подход, в котором физические величины (скорость, давление и пр.) рассматриваются как случайные функции, а описание течения осуществляется через их статистические характеристики: математические ожидания, дисперсии, корреляционные функции и спектры.
Наиболее важной величиной является среднее поле скорости
$$ \overline{u_i}(\mathbf{x}, t) = \langle u_i(\mathbf{x}, t) \rangle, $$
где угловые скобки обозначают усреднение, например, по ансамблю или времени при стационарности. Поле скоростей представляется в виде суммы средней и флуктуирующей составляющих:
$$ u_i = \overline{u_i} + u_i'. $$
Такая декомпозиция называется разложением Рейнольдса. Подстановка её в уравнение Навье–Стокса приводит к уравнениям для усреднённого поля с добавочным членом — реейнольдсовыми напряжениями:
$$ \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} - \frac{\partial}{\partial x_j} \overline{u_i' u_j'}. $$
Последний член требует замыкания, что составляет основную трудность теории турбулентности.
Для описания пространственно-временной структуры турбулентности важны корреляционные функции, в частности, двухточечная корреляционная функция скоростей:
Rij(r, t) = ⟨ui(x, t)uj(x + r, t)⟩.
Её преобразование Фурье по пространственной переменной даёт спектральную тензорную функцию:
Φij(k, t) = ∫Rij(r, t)e−ik ⋅ r d3r.
В изотропной турбулентности спектральная функция зависит лишь от модуля волнового вектора k = |k|, и полная кинетическая энергия флуктуаций определяется как
$$ \frac{1}{2} \langle u_i' u_i' \rangle = \int_0^\infty E(k, t) \, dk, $$
где E(k, t) — энергетический спектр турбулентности.
В инерциальном диапазоне (между масштабами нагрева и вязкой диссипации) спектр подчиняется закону Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — скорость диссипации турбулентной энергии на малых масштабах. Этот результат вытекает из размерностного анализа и гипотезы локального подобия.
Фундаментальное значение имеет уравнение Колмогорова для третьего момента при изотропной и однородной турбулентности:
$$ \langle ( \delta u_L )^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где δuL = uL(x + r) − uL(x) — продольная разность компонент скорости, а r — расстояние между точками. Это уравнение получено без приближений и отражает наличие энергетического каскада — переноса энергии от больших к малым масштабам, где она диссипирует.
В практических задачах применяются различные модели для замыкания уравнений Рейнольдса. Наиболее распространённые:
Модель Буссинеска: напряжения аппроксимируются через эффективную турбулентную вязкость:
$$ \overline{u_i' u_j'} = - \nu_t \left( \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где $k = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'}$ — турбулентная энергия.
Модель k − ε: использует два дополнительных уравнения для турбулентной энергии k и её диссипации ε, на основе которых определяется νt.
LES (Large Eddy Simulation): крупные вихри рассчитываются явно, мелкие — моделируются. Основана на фильтрации уравнений и аппроксимации подрешётчатых напряжений.
DNS (Direct Numerical Simulation): полное численное решение уравнений без моделей, требует колоссальных вычислительных ресурсов.
Турбулентные флуктуации часто обладают негауссовскими распределениями вероятностей. Например, распределения δuL(r) демонстрируют анизотропию и асимметрию, особенно на малых масштабах, где проявляется интермиттенция — неравномерность распределения энергии и интенсивности вихрей.
Фрактальные модели турбулентности, такие как модель мультифрактала Паризи–Фриш, объясняют отклонения от закона k−5/3 и введение анализов масштаба через сингулярные меры и спектр сингулярностей. Для структуры таких потоков характерна иерархия вложенных вихрей, каждый из которых характеризуется собственным масштабом и энергией.
Классические физические поля, такие как электромагнитное, гравитационное или скалярное, описываются функциями на пространственно-временном континууме. В основе их динамики лежит принцип наименьшего действия, согласно которому эволюция поля определяется требованием стационарности действия:
δS = 0, S = ∫ℒ(ϕ, ∂μϕ, xμ) d4x,
где ℒ — лагранжиан, плотность лагранжиана, зависящая от поля ϕ, его производных и координат. Уравнения поля выводятся как уравнения Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0. $$
Скалярное поле: для свободного поля лагранжиан имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2. $$
Уравнение Эйлера–Лагранжа даёт уравнение Клейна–Гордона:
(□+m2)ϕ = 0.
Электромагнитное поле: лагранжиан в вакууме
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu, $$
приводит к уравнениям Максвелла:
∂μFμν = 0.
Гравитационное поле: в общей теории относительности действие записывается как
$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x, $$
где R — скалярная кривизна, g — детерминант метрического тензора. Вариация приводит к уравнениям Эйнштейна:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}. $$
Благодаря теореме Нётер, каждой непрерывной симметрии лагранжиана соответствует закон сохранения. Примеры:
Эти соображения позволяют строить модели с заранее заданными физическими инвариантами и трактовать поля как геометрические объекты.
Классическая теория полей служит основой для построения квантовой теории полей. Каждой степени свободы поля соответствует квантовый осциллятор, а взаимодействия закладываются через нелинейности лагранжиана. Принцип действия сохраняется, но реализуется на уровне функциональных интегралов или операторной формализации.
В квантовом пределе классические конфигурации соответствуют стационарным фазам интеграла по траекториям — т.н. классические траектории в смысле действия, аналогично методу стационарной фазы.