Турбулентные течения описываются уравнениями гидродинамики, прежде всего уравнениями Навье — Стокса, которые представляют собой нелинейную систему векторных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Их аналитическое решение в общем виде невозможно из-за наличия каскадов масштабов, сильной нелинейности и чувствительности к начальным условиям. Поэтому приближённые численные методы являются основным инструментом их исследования.
Конечно-разностные схемы — один из важнейших классов численных методов, используемых при решении задач математической физики, включая задачи турбулентности. Их цель — аппроксимация производных в уравнениях разностными аналогами, позволяющими вычислять приближённое решение на дискретной сетке.
Пусть задача поставлена в пространственно-временной области Ω × [0, T]. Для конечно-разностного аппроксимирования область Ω разбивается на сетку с шагами hx, hy, hz, а временной интервал — на узлы tn = n ⋅ Δt, n = 0, 1, 2, ….
Производные заменяются разностями, например:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x_i} \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2h}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Big|_{x_i} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2} $$
Эти аппроксимации можно уточнять за счёт использования схем повышенного порядка точности.
Временные производные аппроксимируются по-разному в зависимости от типа схемы:
Явные схемы (например, схема Эйлера вперёд):
$$ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} $$
Неявные схемы (например, схема Эйлера назад):
$$ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u^n - u^{n-1}}{\Delta t} $$
Схемы типа Кранка — Николсона сочетают явную и неявную аппроксимации и обеспечивают большую устойчивость при хорошем порядке точности.
В случае турбулентных течений задача существенно осложняется. Нелинейность, мультишкальность и чувствительность к начальным условиям требуют:
Прямое численное моделирование (DNS) требует колоссальных вычислительных ресурсов. Поэтому в большинстве инженерных приложений применяют подходы типа LES (Large Eddy Simulation) и RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes), которые требуют статистической обработки уравнений.
При использовании усреднения по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса приобретают дополнительный член — тензор Рейнольдсовых напряжений:
$$ \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$
Термин $\overline{u_i' u_j'}$ представляет собой корреляции флуктуаций скорости — они требуют моделирования (например, с помощью моделей k-ε, k-ω и др.).
Конечно-разностные схемы должны быть скорректированы таким образом, чтобы обеспечивать корректное вычисление этих дополнительных членов. Например, в уравнении для кинетической энергии турбулентности k возникает необходимость точного расчёта градиентов и дивергенций, что требует схем не ниже второго порядка.
Чрезвычайно важным аспектом при решении турбулентных задач является устойчивость схемы. Турбулентность порождает широкий спектр возмущений, включая высокочастотные моды. Явные схемы при этом часто требуют неустранимо малого временного шага (условие Куранта), в то время как неявные схемы более устойчивы, но вычислительно затратны.
Кроме устойчивости, имеет значение диссипативность схемы. Турбулентное течение включает каскад энергии от больших масштабов к малым, где она диссипирует. Чрезмерная численная диссипация может уничтожить мелкомасштабную структуру до того, как она будет реализована физически, а недостаточная — привести к неустойчивости.
Для управления диссипацией применяют:
Турбулентные уравнения обязательно должны быть реализованы в консервативной форме:
$$ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{U}) = \mathbf{S} $$
где U — вектор консервативных переменных, F — поток, S — источник.
Консервативные схемы обеспечивают сохранение массы, импульса и энергии на сетке при наличии разрывов или резких градиентов. Особенно это важно для моделирования вихрей, ударных волн, слоёв сдвига и других характерных структур турбулентного потока.
Для построения таких схем часто применяются:
Поскольку турбулентность — явление статистической природы, для корректного описания часто вводятся стохастические элементы в конечно-разностные схемы:
При этом вычисляются статистические моменты (средние, дисперсии, корреляции) на сетке:
⟨ui⟩, ⟨uiuj⟩, ⟨(ui − ⟨ui⟩)2⟩
Для получения надёжной статистики необходимо проведение длительных расчётов или усреднение по множеству реализаций.
В LES моделировании движение крупных вихрей рассчитывается напрямую, а мелкие масштабы моделируются. Для этого конечно-разностные схемы должны обладать следующими свойствами:
Для LES часто применяют четвёртого порядка центральные схемы, дискретные фильтры и адаптивные сетки, которые позволяют адаптироваться к локальной структуре потока.
После численного решения на основе конечно-разностной схемы необходимо:
Эти статистические величины позволяют не только верифицировать модель, но и исследовать физическую структуру турбулентного течения.
Реализация конечно-разностных схем требует:
Таким образом, конечно-разностные схемы в контексте статистических методов турбулентности представляют собой многоуровневую технологию, сочетающую численный анализ, стохастику и физику турбулентных явлений.