Конформные отображения в двумерных задачах и статистические методы в теории турбулентности
В двумерной (2D) гидродинамике уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости можно выразить в терминах функции тока ψ(x, y), для которой поле скорости записывается как:
$$ \vec{v} = \left( \frac{\partial \psi}{\partial y}, -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) $$
Условие несжимаемости ∇ ⋅ v⃗ = 0 автоматически выполняется. Введём комплексную переменную z = x + iy. В этом случае, при определённых условиях (например, в случае потенциала), задача может быть переформулирована через аналитические функции.
Если комплексный потенциал w(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y) аналитичен, то его производная:
$$ \frac{d w}{dz} = v_x - i v_y $$
содержит информацию о поле скорости. Конформные отображения сохраняют угол между линиями тока и эквипотенциала, что делает их особенно удобными для задач о движении жидкости в сложных областях.
Конформные отображения применяются к турбулентным задачам в ограниченных геометриях, например, при истечении струи из щели, при обтекании препятствий, в канализационных потоках. Пусть рассматривается турбулентный плоский поток вблизи тела сложной формы. Переход к области, в которой границы потока становятся прямыми (или проще выражаются), позволяет использовать классические методы.
Если функция z = f(ζ) является конформным отображением из плоскости ζ на физическую плоскость z, то комплексный потенциал в новой переменной:
w(z) = W(ζ) = Φ(ζ) + iΨ(ζ)
преобразуется с сохранением аналитичности, и задача сводится к поиску W(ζ) в более простой геометрии. После нахождения W(ζ), возвращаются в физическую область с помощью обратного отображения.
Для турбулентных течений прямая аналитическая зависимость между потоком и скоростью отсутствует. Поэтому вводится статистическое усреднение. Пусть поле скорости v⃗(x⃗, t) представлено в виде:
v⃗(x⃗, t) = ⟨v⃗(x⃗, t)⟩ + v⃗′(x⃗, t)
где ⟨v⃗⟩ — среднее значение (по времени или ансамблю), v⃗′ — флуктуации. Уравнения Навье–Стокса после усреднения приобретают новый нелинейный член — тензор Рейнольдса:
⟨vivj⟩ − ⟨vi⟩⟨vj⟩
Этот тензор описывает вклад турбулентных флуктуаций в среднее течение. Статистическое описание требует моделирования этого тензора, например, в рамках k–ε или LES-подходов.
Для двумерной турбулентности особую роль играет вортексная формулировка. Введём завихренность ω = ∇ × v⃗. В двумерии это скалярная величина:
$$ \omega = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} $$
Так как v⃗ дивергентно свободно, то существует функция тока ψ, такая что ω = −Δψ. Это позволяет свести задачу к уравнению Пуассона:
Δψ = −ω
Для его решения применяются функции Грина. При статистическом усреднении завихренности возникает необходимость в определении корреляционных функций:
R(r⃗) = ⟨ω(x⃗)ω(x⃗ + r⃗)⟩
и спектров энергии:
E(k) = ∫e−ik⃗ ⋅ r⃗R(r⃗)d2r
Для 2D-турбулентности характерны инверсные каскады энергии и прямые каскады энтропии завихренности, описываемые уравнениями типа Краичнана–Батчелора.
В двумерной турбулентности сохраняются два инварианта: энергия и энстрофия:
Энергия:
$$ E = \frac{1}{2} \langle \vec{v}^2 \rangle $$
Энстрофия:
$$ Z = \frac{1}{2} \langle \omega^2 \rangle $$
Распределение этих величин по волновым числам даёт представление о переносе энергии. Спектры обычно имеют вид:
E(k) ∼ k−5/3, в инверсном каскаде (для k ≪ kf)
E(k) ∼ k−3, в прямом каскаде (для k ≫ kf)
где kf — характерное число накачки.
Конформная теория поля (КТП) может быть применена к описанию статистики вихревых структур в 2D-турбулентности. При критическом турбулентном режиме, когда наблюдается самоподобие, статистика вихрей может подчиняться конформной инвариантности.
Пусть вероятность появления вихря с циркуляцией Γ и масштабом r подчиняется закону:
$$ P(\Gamma, r) \sim r^{-\alpha} \exp\left( -\beta \frac{\Gamma^2}{r^2} \right) $$
Такой вид согласуется с возможным наличием масштабной и даже конформной симметрии. В некоторых моделях, например, в модели точечных вихрей, такие свойства можно строго доказать.
Конформные отображения позволяют также моделировать рост границ вихревых доменов или фронтов в задачах типа SLE (Stochastic Loewner Evolution). Это подход из математической физики, в котором кривые в 2D описываются стохастическими уравнениями Лёвнера:
$$ \frac{d g_t(z)}{dt} = \frac{2}{g_t(z) - \xi(t)} $$
где ξ(t) — броуновский процесс. Такие методы оказались эффективными в описании статистики границ вихрей в двумерной турбулентности.
Средние значения не замыкаются сами по себе: каждое уравнение зависит от корреляций высшего порядка. Возникает бесконечная иерархия, подобная BBGKY в кинетике. Для замыкания используют:
Во всех случаях предполагается определённая модель для высших моментов, чтобы завершить систему уравнений.
При наличии физических границ (стенок, углов, тел) конформные отображения позволяют точно учитывать геометрию. Например, отображение полуплоскости на канал, угловую область или на область с выступами. Методы Шварца–Кристиоффеля позволяют построить такие отображения в аналитическом или численно приближенном виде. Это важно при моделировании турбулентных течений около острых краёв или каналов со сложной формой.
Анализ симметрий уравнений Навье–Стокса и их статистических аналогов показывает, что в двумерии возможны дополнительные инварианты и симметрии. В частности, масштабная и конформная симметрии приводят к сохранению определённых статистических количеств, таких как спектральный поток энергии или характеристик вихревых ансамблей.