Криволинейные координаты и тензорное исчисление в статистической теории турбулентности
В контексте турбулентных течений важную роль играет представление физических величин в обобщённых координатах. Это необходимо при анализе потоков в каналах, трубах, на поверхностях вращения и других криволинейных геометриях. Пространство при этом описывается локальной системой координат (q1, q2, q3), в которой базисные векторы $\mathbf{e}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$ могут быть неортогональны и зависеть от координат.
Метрический тензор Основным объектом геометрического описания является метрический тензор
gij = ei ⋅ ej,
который определяет элемент длины
ds2 = gij dqi dqj.
Через метрический тензор выражаются все геометрические свойства пространства. Он играет центральную роль в определении скалярных произведений, объемов, дивергенций и других дифференциальных операторов.
Векторные и тензорные дифференциальные операторы — градиент, дивергенция, ротор — в криволинейных координатах имеют форму, зависящую от gij и его детерминанта g = det (gij).
Дивергенция векторного поля A:
$$ \operatorname{div} \, \mathbf{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left( \sqrt{g} \, A^i \right), $$
где Ai — ковариантные компоненты вектора в базисе ei.
Лапласиан скалярного поля ϕ:
$$ \Delta \phi = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left( \sqrt{g} \, g^{ij} \frac{\partial \phi}{\partial q^j} \right), $$
что позволяет использовать уравнение теплопроводности, диффузии и аналогичные формы в изогнутых геометриях.
В статистической теории турбулентности ключевым объектом является тензор скоростей деформации:
$$ e_{ij} = \frac{1}{2} \left( \nabla_i v_j + \nabla_j v_i \right), $$
где ∇i — ковариантная производная. Учитывая кривизну пространства, вводятся поправки на связность, определяемую символами Кристоффеля:
$$ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{il}}{\partial q^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial q^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^l} \right). $$
С помощью тензора eij описываются вязкие напряжения:
τij = 2μeij,
что входит в уравнение Навье–Стокса в криволинейной форме. Анализ потоков с кривыми границами, включая вихревые кольца, струи или вращающиеся системы, невозможен без этого аппарата.
Для турбулентных течений ключевым подходом является разложение физических величин на среднюю и пульсационную составляющие:
$$ v^i = \overline{v^i} + v'^i, \quad p = \overline{p} + p', $$
где среднее берётся по ансамблю, времени или пространству. Следствием этого является появление тензора Рейнольдсовых напряжений:
$$ R^{ij} = \overline{v'^i v'^j}, $$
который по своей природе является тензором второго ранга и требует тензорного анализа для изучения его трансформационных свойств и эволюции в сложных координатных системах.
Для вывода уравнений на Rij необходимо учитывать ковариантную производную, сопряжённую с метрическим тензором. Например, уравнение переноса Рейнольдсовых напряжений:
$$ \frac{\partial R^{ij}}{\partial t} + \overline{v^k} \nabla_k R^{ij} + R^{ik} \nabla_k \overline{v^j} + R^{jk} \nabla_k \overline{v^i} = -\varepsilon^{ij} + \Pi^{ij} + \cdots, $$
где εij — тензор диссипации, Πij — тензор давления-деформации. Все члены уравнения должны быть тензорно инвариантными, что требует строгого соблюдения правил тензорного исчисления.
Для статистически изотропной турбулентности тензор Рейнольдса упрощается:
$$ R^{ij} = \frac{2}{3} k \delta^{ij}, $$
где $k = \frac{1}{2} \overline{v'^i v'_i}$ — кинетическая энергия турбулентных пульсаций. Такой вид справедлив только в декартовых координатах, в изотропной среде. В криволинейных координатах изотропность выражается сложнее, и требуется рассмотрение инвариантов тензора второго ранга.
Более того, при построении замыканий (например, в модели k–ε или k–ω) необходимо учитывать инвариантные тензорные структуры, такие как:
SijSij, ΩijΩij, SijΩij,
где Sij — симметричная часть градиента скорости, Ωij — антисимметричная часть (вихревые структуры). Такие тензоры позволяют описывать анизотропию турбулентности и её эволюцию в различных областях потока.
Одной из важнейших задач является получение уравнений для средних величин из исходных уравнений, зависящих от флуктуирующих компонентов. При этом возникают корреляционные тензоры высших рангов, таких как:
$$ T^{ijk} = \overline{v'^i v'^j v'^k}, \quad P^{ij} = \overline{p' v'^j}, $$
и необходимо применять методы тензорной редукции, разложения по симметриям и инвариантам группы вращений. Для работы с такими тензорами требуются обобщённые формулы свёртки, ортогональные базисы (например, тензоры Картана) и свойства сферических тензоров.
В турбулентных течениях важную роль играют вихревые образования. Их можно описывать с помощью тензора вихря:
ωij = ∇ivj − ∇jvi,
или в дифференциальной геометрии — через форму 2-поля:
$$ \omega = d\mathbf{v} = \frac{1}{2} \omega_{ij} \, dq^i \wedge dq^j. $$
Такая форма особенно полезна при рассмотрении вихревых трубок, петель, инвариантов вихря (например, интеграла Гельмгольца), а также при анализе топологии поля скоростей.
Развитие современных моделей турбулентности всё больше использует геометрические инварианты: гауссову кривизну, тензоры кривизны пространства, тензоры формы. Эти инструменты позволяют учитывать влияние геометрии на развитие турбулентности. Например, в моделях потоков на поверхности сферы, тороида или вблизи острых кромок учитываются поправки, обусловленные второй фундаментальной формой, связанной с внешней кривизной.
В некоторых подходах (например, Large Eddy Simulation в обобщённой геометрии) для фильтрации и декомпозиции масштабов применяются тензоры метрики напрямую, а усреднённые уравнения записываются с учётом якобиана преобразования координат:
$$ J = \sqrt{g}. $$
Таким образом, интеграция криволинейных координат и тензорного исчисления с методами статистической теории турбулентности обеспечивает строгое и инвариантное описание сложных турбулентных процессов в реальных геометриях. Этот подход становится особенно важным при численном моделировании и в анализе экспериментальных данных, где физическая точность и согласованность с геометрией потока играют решающую роль.