Турбулентность и статистические методы
Турбулентный режим движения жидкости представляет собой один из наиболее сложных и нерешённых разделов классической механики. В условиях сильно возмущённого потока прямое решение уравнений Навье–Стокса становится неэффективным: малейшие начальные отклонения экспоненциально нарастают, что делает детерминированное описание непрактичным. Поэтому применяется статистический подход, рассматривающий ансамбли возможных состояний системы и их вероятностные характеристики.
Основной процедурой статистического анализа является разложение величин на среднее и флуктуационную составляющую. Для скалярной или векторной функции f(x, t) имеем:
$$ f(\mathbf{x}, t) = \overline{f}(\mathbf{x}, t) + f'(\mathbf{x}, t) $$
где $\overline{f}$ — статистическое среднее, а f′ — флуктуации. Применяя это к уравнениям Навье–Стокса, получаем уравнения Рейнольдса для усреднённого движения, в которых возникает дополнительный тензор:
$$ \tau_{ij} = \overline{v_i' v_j'} $$
Этот тензор Рейнольдса описывает перенос импульса флуктуациями и требует замыкания — то есть дополнительной модели для его выражения через усреднённые величины.
Наиболее распространённый способ замыкания — гипотеза Буссинеска. Согласно ей, тензор Рейнольдса аналогичен вязкому тензору Ньютона, но с коэффициентом, зависящим от флуктуаций:
$$ \tau_{ij} \approx - \nu_T \left( \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{v}_j}{\partial x_i} \right) $$
где νT — турбулентная вязкость, зависящая от характеристик флуктуаций, таких как энергия турбулентности и её диссипация. Более развитые модели, такие как k–ε модель и k–ω модель, вводят уравнения на дополнительные поля — турбулентную кинетическую энергию k и скорость её диссипации ε, что позволяет рассчитывать νT более точно.
При изучении изотропной турбулентности ключевую роль играет спектр энергии E(k), показывающий распределение кинетической энергии по волновым числам k. Согласно теории Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
в инерциальном интервале, где ε — скорость диссипации энергии. Этот результат вытекает из предположения о самоподобии и независимости динамики от вязкости в данном диапазоне масштабов.
Спектральное разложение позволяет анализировать турбулентные поля в пространстве Фурье и исследовать энергообмен между различными масштабами. Уравнения Навье–Стокса в представлении по Фурье порождают бесконечную иерархию уравнений для корреляционных функций, требующих статистического замыкания.
Формализуя статистику, вводят n-точечные корреляционные функции, например, для скорости:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{v_i(\mathbf{x}) v_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})} $$
и их преобразования Фурье — спектральные тензоры. Теория Краиха — Хопфа — Ли формулирует бесконечную систему уравнений для этих корреляционных функций. Однако необходимость замыкания остаётся: приближение двухточечным корреляционным уровнем не даёт полного описания.
Гипотеза Краиха о гауссовой статистике утверждает, что высокопорядковые корреляции могут быть выражены через двухточечные — аналогично теореме Уика в квантовой теории поля, но её применимость в сильно турбулентных режимах остаётся предметом дискуссии.
Альтернативный подход — использование функции распределения вероятностей для состояний поля. Пусть P[v] — функционал, определяющий вероятность реализации конкретной конфигурации поля скорости v(x). Тогда средние можно определять как функциональные интегралы:
$$ \overline{F[v]} = \int F[v] P[v] \mathcal{D}v $$
Ли (1951) предложил писать кинетическое уравнение Ли для P[v], формально аналогичное уравнению Лиувилля в механике:
$$ \frac{\partial P[v]}{\partial t} = -\int \frac{\delta}{\delta v_i(x)} \left( N_i[v] P[v] \right) dx $$
где Ni[v] — нелинейные члены уравнения Навье–Стокса. Это функциональное уравнение описывает эволюцию вероятностного распределения, но оно неразрешимо в общем виде. Тем не менее, оно даёт основу для разработки функционального интегрального подхода и применения методов теории поля.
Переходя к методу полей, турбулентность можно описывать через генератор функционалов корреляций и применять аналог диаграммной техники Фейнмана. Поля v и сопряжённые им поля Ланжевена играют роль квантовых полей и источников. Средние значения выражаются через функциональные производные от генератора по внешним источникам.
Такой подход позволяет выделить ведущие вклады в развитие корреляций, оценить флуктуационные поправки и разработать аналог возмущительной теории в турбулентности, особенно в случае слабонелинейных режимов.
Квантование полей методом канонических переменных
Каноническое квантование — это один из основных способов перехода от классического поля к квантовому описанию, основанный на аналогии с гамильтоновой механикой. Его применение особенно эффективно в случае свободных или слабо взаимодействующих полей, но также служит отправной точкой для построения полной квантовой теории.
Начнём с классического поля ϕ(x, t), описываемого лагранжианом:
ℒ(ϕ, ∂μϕ)
Из него строится канонический импульс:
$$ \pi(x, t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(x, t)} $$
Гамильтониан определяется как:
ℋ = ∫d3x(πϕ̇ − ℒ)
и уравнения движения получают форму:
$$ \dot{\phi}(x) = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \pi(x)}, \quad \dot{\pi}(x) = - \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \phi(x)} $$
Процедура квантования заключается в том, что поля ϕ и π превращаются в операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям:
[ϕ̂(x, t), π̂(y, t)] = iℏδ3(x − y)
[ϕ̂(x, t), ϕ̂(y, t)] = [π̂(x, t), π̂(y, t)] = 0
Всё дальнейшее развитие теории строится на этих алгебраических отношениях. Физические величины становятся операторами на гильбертовом пространстве, и состояние системы описывается вектором |Ψ⟩.
Для свободного скалярного поля лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2) $$
даёт уравнение Клейна–Гордона:
(□+m2)ϕ = 0
Квантование приводит к спектральному разложению поля:
$$ \hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left( \hat{a}_{\mathbf{p}} e^{-ipx} + \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}} e^{ipx} \right) $$
с операторами рождения и уничтожения, удовлетворяющими:
[âp, âp′†] = (2π)3δ3(p − p′)
Для фотона поле Aμ обладает калибровочной симметрией, что требует наложения условия калибровки (например, калибровка Лоренца) и введения связывающих условий. Квантование в таких системах проводится либо через редуцированный фазовый портрет (метод Дирака), либо в ковариантной форме с помощью фиксации калибровки и введения фиктивных полей (метод Фаддеева–Попова).
Хотя канонический подход является основополагающим, он тесно связан с функциональным интегрированием. Амплитуды переходов и корреляционные функции могут быть выражены как интегралы по траекториям:
⟨0|T{ϕ(x1)⋯ϕ(xn)}|0⟩ = ∫????ϕ ϕ(x1)⋯ϕ(xn) eiS[ϕ]/ℏ
где S[ϕ] — действие, соответствующее лагранжиану. Этот подход более удобен для построения диаграммной техники и рассмотрения квантовых возмущений, но его связь с каноническим методом остаётся фундаментальной.