Турбулентность и статистические методы
При описании турбулентного течения невозможно апеллировать к детерминированным уравнениям движения, как это делается для ламинарных режимов. В турбулентности господствует стохастический характер движения. Следовательно, основным объектом описания становятся статистические характеристики поля скоростей, давления и других величин. Ключевыми являются:
Поле скоростей в турбулентности представляется в виде разложения на среднюю и флуктуирующую части:
v(x, t) = ⟨v(x, t)⟩ + v′(x, t)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение, например, по ансамблю или во времени.
Функция автокорреляции второго порядка:
Rij(r) = ⟨vi(x)vj(x + r)⟩
характеризует степень связи между компонентами скорости на различных расстояниях. Эта функция служит основой для спектрального представления поля флуктуаций.
Ключевым вкладом Колмогорова в статистическую теорию турбулентности стало постулирование универсального поведения в инерционном диапазоне масштабов. Предполагается, что при достаточно высоком числе Рейнольдса формируется интервал масштабов, в котором вязкость и внешние силы не играют роли. Тогда энергия передаётся от больших масштабов к меньшим через каскад взаимодействий.
Спектральная плотность энергии E(k) — это функция волнового числа k, характеризующая распределение кинетической энергии по масштабам:
$$ \int_0^\infty E(k)\,dk = \frac{1}{2} \langle \mathbf{v}'^2 \rangle $$
В инерционном диапазоне выполняется закон:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
Применение уравнений Навье–Стокса к усреднённому полю даёт систему уравнений Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial t} + \langle v_j \rangle \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \Delta \langle v_i \rangle - \frac{\partial \langle v_i' v_j' \rangle}{\partial x_j} $$
Последний член, тензор Рейнольдсовых напряжений ⟨vi′vj′⟩, представляет собой неизвестный вклад от флуктуаций и требует замыкания. Типичные модели:
В развитой турбулентности важную роль играют структурные функции:
$$ S_n(\mathbf{r}) = \langle [(\mathbf{v}(\mathbf{x} + \mathbf{r}) - \mathbf{v}(\mathbf{x})) \cdot \hat{\mathbf{r}}]^n \rangle $$
В частности, второй и третий порядки (при изотропии) играют важную роль в проверке гипотез Колмогорова. Третий порядок подчиняется точному закону:
$$ S_3(r) = -\frac{4}{5} \varepsilon r $$
Этот закон не зависит от вязкости, а только от масштаба и диссипации, и служит проверяемым признаком развитой турбулентности.
Колмогоровская теория не учитывает интермиттентность — неравномерность распределения диссипации во времени и пространстве. Экспериментальные и численные данные показывают, что моменты порядка выше третьего отклоняются от предсказанных степенных законов. Это требует введения многофрактальных моделей, где:
$$ S_n(r) \sim r^{\zeta(n)}, \quad \zeta(n) \neq \frac{n}{3} $$
Нелинейность функции ζ(n) отражает сложную структуру каскада энергии и его нестабильность. Теория Шрамма, модели Шеффера, а также теория масштабных симметрий интермиттентности (связанные с симметриями уравнений в группах Ли) дают качественные описания, но ещё не привели к строгой замкнутой теории.
Квантовая хромодинамика и конфайнмент
Квантовая хромодинамика (КХД) — это нелинейная релятивистская калибровочная теория взаимодействия кварков через обмен глюонами. Она построена на локальной симметрии SU(3), где 8 генераторов группы соответствуют восьми глюонам. Лагранжиан КХД имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \sum_f \bar{\psi}_f (i \gamma^\mu D_\mu - m_f) \psi_f - \frac{1}{4} G^a_{\mu\nu} G^{a\mu\nu} $$
где:
Нелинейность КХД коренится в самодействии глюонов: в отличие от КЭД, глюоны несут цветовой заряд и взаимодействуют друг с другом.
Фундаментальной особенностью КХД является асимптотическая свобода: при больших переданных импульсах (или малых расстояниях) эффективная константа связи убывает:
$$ \alpha_s(Q^2) = \frac{12\pi}{(33 - 2n_f) \ln(Q^2/\Lambda^2_{\text{QCD}})} $$
где nf — число активных ароматов, ΛQCD — характерная шкала КХД (~200 МэВ).
Асимптотическая свобода объясняет, почему в глубоконеупругих рассеяниях кварки ведут себя как почти свободные частицы (на масштабах малых расстояний).
Одной из нерешённых проблем КХД остаётся конфайнмент — невозможность наблюдения изолированных кварков и глюонов. Хотя КХД описывает взаимодействие на фундаментальном уровне, явление конфайнмента не выводится напрямую из уравнений, а требует анализа нелинейных и неклассических эффектов.
Численные исследования на решётке (метод Монте-Карло на решётке Вильсона) показывают, что при удалении кварков энергия взаимодействия растёт линейно:
V(r) ∼ σr
где σ — коэффициент натяжения глюонной струны. Это аналог поведения струны: между кварками возникает “трубка” напряжённости — глюонная струна, препятствующая их разделению.
Считается, что механизм конфайнмента связан с топологическими конфигурациями поля — монополями, инстантонами, глюонными струнами. В калибровочных теориях возможно появление неконтинуальных решений, аналогичных вихрям в жидкости.
Модели Вильсона на решётке позволяют исследовать фазовый переход между конфайнментом и деконфайнментом при конечной температуре. Переход связан с симметрией центра группы SU(3), которая нарушается в фазе деконфайнмента. Это проявляется, например, в поведении петли Полякова — важного оператора в решёточной КХД:
$$ \langle P \rangle = \begin{cases} 0, & T < T_c \quad \text{(конфайнмент)} \\ \neq 0, & T > T_c \quad \text{(деконфайнмент)} \end{cases} $$
Такой переход интерпретируется как аналог фазового перехода в статистической физике, что открывает глубокую аналогию между термодинамикой и квантовой хромодинамикой.
Существует глубокое формальное сходство между турбулентностью и КХД. Обе теории:
Некоторые методы, разработанные в турбулентности — например, функциональные интегралы, многошкальные разложения, групповой анализ — находят применение в анализе КХД и особенно в описании сильносвязанных режимов.