Основные понятия статистического подхода
Турбулентный поток — это хаотическое, нестационарное и пространственно неустойчивое движение, характеризующееся сильной чувствительностью к начальному состоянию. Несмотря на это, в рамках статистического подхода вводятся усреднённые величины, обладающие регулярностью и воспроизводимостью. Основными объектами здесь являются:
поле средней скорости: ⟨u(x, t)⟩
флуктуации: u′(x, t) = u(x, t) − ⟨u(x, t)⟩
корреляционные функции: Rij(r, t) = ⟨u′i(x, t)u′j(x + r, t)⟩
спектральная плотность энергии: E(k) = ∫⟨u′(x) ⋅ u′(x + r)⟩e−ik ⋅ r d3r
Рейнольдсово усреднение и уравнения Навье–Стокса
Применение рейнольдсовского усреднения к уравнениям Навье–Стокса приводит к появлению дополнительного члена — тензора Рейнольдсовых напряжений:
$$ \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial t} + \langle u_j \rangle \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \langle u_i \rangle}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle u'_i u'_j \rangle}{\partial x_j} $$
Последний член требует моделирования — задача, известная как проблема замыкания.
Уравнения движения корреляционных функций
В рамках теории Колмогорова и Ландау–Лифшица можно получить иерархию уравнений для n-точечных корреляционных функций. Пример для второго порядка:
$$ \frac{\partial R_{ij}}{\partial t} + \cdots = T_{ij} + D_{ij} $$
Здесь $T_{ij}$ — переносные члены, а $D_{ij}$ — вязкие затухания. Однако уравнение для $n$-точечной корреляции содержит $(n+1)$-точечные функции, что создаёт бесконечную иерархию.
Модели замыкания
На практике иерархию обрывают на некотором уровне с помощью аппроксимаций:
В предельном случае полной изотропии поле скорости можно описывать скалярами. Функция корреляции имеет вид:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \left( \delta_{ij} - \frac{r_i r_j}{r^2} \right) f(r) + \frac{r_i r_j}{r^2} g(r) $$
Спектральная плотность энергии становится функцией только от модуля волнового вектора:
E(k) = Cε2/3k−5/3
Это — закон Колмогорова, центральный элемент теории турбулентного каскада.
В реальных течениях наблюдается отклонение от чисто колмогоровской шкалы. Это связано с интермиттентностью — неравномерностью распределения энергии по пространству. Для учёта этих эффектов используют мультифрактальные модели, основанные на введении спектра сингулярностей $f()$:
Prob(δul ∼ lα) ∼ l−f(α)
Функции $f()$ описывают геометрию множеств, на которых выполняются определённые законы масштабирования. Эти представления дают гораздо более точные предсказания высоких порядков корреляционных моментов.
Метод возмущений в статистической теории турбулентности основывается на рассмотрении линейного ответа на флуктуации с последующим статистическим усреднением. Классическая постановка:
u = u0 + λu1 + λ2u2 + ⋯
Подстановка в уравнение Навье–Стокса и усреднение по ансамблю приводит к серии уравнений, каждое из которых описывает вклад определённого порядка. Метод позволяет выявить нелинейные эффекты и механизм энергообмена.
Систематический путь к статистической теории турбулентности предлагает метод функционального интеграла. Через введение шума в виде случайной силы $$ с заданной корреляцией:
⟨fi(x, t)fj(x′, t′)⟩ = Dij(x − x′, t − t′)
можно построить эффективный лагранжиан и определить функционал Женева–Паризи–Поляковского:
$$ Z = \int \mathcal{D}\mathbf{u} \mathcal{D}\bar{\mathbf{u}} \, e^{-S[\mathbf{u}, \bar{\mathbf{u}}]} $$
где ${}$ — вспомогательное поле Мартиновского типа. Анализ $Z$ методом диаграмм приводит к аналогии с квантовой теорией поля, включая вершинные функции, интегралы по петлям и группы перенормировки.
Квантово-механическая теория возмущений строится на разложении гамильтониана:
Ĥ = Ĥ0 + λV̂
с последующим вычислением коррекций к собственным значениям и векторам. Аналогия с турбулентностью возникает при рассмотрении статистического ансамбля состояний и при использовании операторных методов, например, при переходе к формализму вторичного квантования или применении нелинейных гамильтонианов.
Как и в квантовой механике, в турбулентности возникают резонансные взаимодействия, переходные амплитуды, диаграммные техники, включая Feynman-подобные правила для вычисления вкладов. Возникает прямая параллель между:
При слабой нелинейности можно применять аналог квантово-механического подхода — теория слабой турбулентности, или кинетическая теория волн, с уравнением вида:
$$ \frac{\partial n_k}{\partial t} = \int W_{k k_1 k_2} \left( n_{k_1} n_{k_2} - n_k n_{k_1} - n_k n_{k_2} \right) \delta(\omega_k - \omega_{k_1} - \omega_{k_2}) \, dk_1 dk_2 $$
Здесь $n_k$ — аналог квантового распределения по модам. Эти уравнения напоминают уравнение Больцмана в квантовом газе.
Хотя статистика турбулентности часто предполагает хаос, в реальности наблюдаются квазистационарные когерентные структуры: вихри, струи, слои сдвига. Их вклад в корреляционные функции можно отделить, используя разложение в базис собственных мод или применять спектральную фильтрацию, аналогичную методам в квантовой механике, где флуктуации могут описываться как суперпозиции собственных состояний.
Особый интерес представляет квантовая турбулентность — наблюдаемая в сверхтекучих системах (гелий-II, конденсаты Бозе–Эйнштейна), где вихревые структуры квантуются, и динамика описывается нелинейным уравнением Шрёдингера (уравнением Гросса–Питаевского):
$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V + g |\psi|^2 \right)\psi $$
Спектральные свойства и статистика кванта вихря обладают аналогами в классической турбулентности, но также демонстрируют явления, не имеющие классических аналогов: рекомбинации, пересечения вихрей, квантованные каскады.
Современные подходы рассматривают уравнения гидродинамики как пределы квантовых теорий поля. Например, формализм Гидро-КЖП (Каданов–Женев–Поляков) связывает нелинейные уравнения Навье–Стокса с эффективными действиями, получаемыми из КТП при низких энергиях. Это позволяет применять методы квантовой теории возмущений, диаграммной техники, перенормировки и анализа сингулярностей напрямую к описанию статистики и эволюции турбулентного поля.