Рассмотрим уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v}, \quad \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, $$
где v(r, t) — поле скорости, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость. Эти уравнения нелинейны из-за члена (v ⋅ ∇)v, что приводит к возникновению каскадных процессов в спектре масштабов. Именно эта нелинейность порождает хаотическое, турбулентное поведение.
Турбулентность изучают статистически, разделяя величины на средние и флуктуирующие:
$$ \mathbf{v}(\mathbf{r}, t) = \overline{\mathbf{v}}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{v}'(\mathbf{r}, t), \quad \overline{\mathbf{v}'} = 0. $$
Подставляя это разложение в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{v}} \cdot \nabla)\overline{\mathbf{v}} = -\frac{1}{\rho}\nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{v}} - \nabla \cdot \overline{\mathbf{v}' \otimes \mathbf{v}'}. $$
Последний член — тензор Рейнольдса — характеризует влияние турбулентных флуктуаций и требует замыкания для вычислений.
Для описания статистических свойств турбулентности вводят корреляционные функции второго порядка:
Rij(r, τ) = ⟨vi(x, t)vj(x + r, t + τ)⟩,
а также их преобразования Фурье — энергетический спектр E(k). В инерционном диапазоне Кольмогорова наблюдается универсальное поведение:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии, k — волновое число. Это спектральное распределение отражает перенос энергии от больших масштабов к малым (турбулентный каскад).
Кольмогоровская гипотеза о локальной изотропии постулирует, что на малых масштабах свойства турбулентного течения зависят только от ε и ν, но не от крупномасштабной структуры. Из этого следует, например, масштаб длины Кольмогорова:
$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}. $$
Эта шкала определяет нижнюю границу инерционного диапазона и начало вязкой диссипации.
Так как тензор Рейнольдса содержит флуктуации, которые не определяются из уравнений для средних величин, требуется модель замыкания. Простейшая — гипотеза Буссинеска:
$$ \overline{v_i'v_j'} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{v}_j}{\partial x_i} \right), $$
где νt — турбулентная вязкость. Более сложные модели используют уравнения для кинетической энергии турбулентности k и её диссипации ε: модели типа k − ε, k − ω, или даже RANS и LES (Reynolds-Averaged Navier-Stokes и Large Eddy Simulation).
Рассматривается частица, движущаяся в потенциале V(r), с асимптотикой свободной частицы:
$$ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}). $$
На больших расстояниях волновая функция принимает вид:
$$ \psi(\mathbf{r}) \sim e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}, \quad r \to \infty, $$
где первый член — падающая плоская волна, второй — сферическая рассеянная, f(θ, ϕ) — амплитуда рассеяния.
Определяется S-матрица, связывающая входящие и исходящие состояния. Пусть |ψin⟩→|ψout⟩ = S|ψin⟩. Основное требование к S-матрице — унитарность:
S†S = SS† = I,
что физически означает сохранение полной вероятности в процессе рассеяния.
Для сферически симметричного потенциала уравнение можно разложить по угловому моменту:
$$ \psi(\mathbf{r}) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) i^\ell R_\ell(r) P_\ell(\cos \theta), $$
где каждое Rℓ(r) удовлетворяет радиальному уравнению с эффективным потенциалом:
$$ \left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} - \frac{2m}{\hbar^2} V(r) \right] R_\ell(r) = 0. $$
На больших расстояниях решение ведёт себя как:
$$ R_\ell(r) \sim \sin\left( kr - \frac{\ell\pi}{2} + \delta_\ell \right), \quad r \to \infty, $$
где δℓ — фаза рассеяния. Через неё строится элемент S-матрицы:
Sℓ = e2iδℓ.
Амплитуда рассеяния выражается через δℓ:
$$ f(\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \frac{e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta), $$
что позволяет вычислить дифференциальное сечение:
$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2, $$
а также полное:
$$ \sigma_{\text{tot}} = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \sin^2 \delta_\ell. $$
Особый интерес представляют резонансные состояния, соответствующие полюсам S-матрицы в комплексной плоскости энергии. Такие состояния характеризуются комплексной энергией E = Er − iΓ/2, где Γ — ширина резонанса, связанная со временем жизни:
τ ∼ ℏ/Γ.
Анализ S-матрицы в комплексной плоскости (через её аналитическое продолжение) позволяет находить и описывать резонансы, определять стабильность состояний, изучать спектральные свойства гамильтонианов.
При наличии нескольких каналов рассеяния (например, разные внутренние состояния или выходы с разной энергией) S-матрица становится матрицей в пространстве каналов:
$$ S = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} & \cdots \\ S_{21} & S_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}, $$
где Sij — амплитуда перехода из канала j в канал i. Унитарность сохраняется: S†S = I. Многоканальное рассеяние играет ключевую роль в ядерной физике, атомных столкновениях и в физике элементарных частиц.
Наблюдая фазовые сдвиги δℓ, можно попытаться восстановить потенциальную модель, вызвавшую данное рассеяние — так называемая обратная задача квантового рассеяния. Методы решения включают преобразования Марченко и Гельфанда–Левитана. Это направление позволяет использовать данные экспериментов для построения микроскопических моделей взаимодействия частиц.