Статистические методы в описании турбулентности: метод многих масштабов
Турбулентный поток характеризуется иерархией взаимодействующих вихрей, охватывающих широкий диапазон масштабов — от крупных, определяемых граничными условиями и геометрией, до мелких, где преобладает вязкое рассеяние. Каждый масштаб влияет на динамику потока, поэтому корректное описание турбулентности требует методов, способных учитывать многомасштабную структуру.
Крупномасштабные структуры обеспечивают поступление энергии в систему, в то время как мелкомасштабные — ответственны за рассеяние этой энергии через вязкое торможение. В промежуточной инерциальной области происходит каскад энергии: энергия передаётся от больших масштабов к меньшим без значительных потерь, что лежит в основе теории Колмогорова.
Метод многих масштабов — это систематическая процедура разложения переменных и уравнений по малому параметру, характеризующему различие между масштабами. В контексте турбулентности, малым параметром выступает отношение характерной длины малых масштабов (например, масштаба диссипации) к длине крупных структур потока.
Пусть ε ≪ 1 — малый параметр, отражающий разделение масштабов. Тогда пространство и время рассматриваются как функции нескольких переменных:
x → (x, X = εx), t → (t, T = εt)
Здесь x, t описывают быстрые переменные, связанные с мелкими масштабами, а X, T — медленные, связанные с крупными масштабами.
Функции, описывающие физические поля (например, скорость u⃗), зависят от обоих наборов переменных:
u⃗ = u⃗(x, X, t, T)
Задача метода — разложить u⃗ по степеням ε и подставить в исходные уравнения (например, уравнения Навье–Стокса), чтобы получить иерархию уравнений на различных порядках по ε, описывающих согласованную эволюцию крупно- и мелкомасштабных составляющих.
Для несжимаемой жидкости уравнения Навье–Стокса имеют вид:
$$ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = -\nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u}, \quad \nabla \cdot \vec{u} = 0 $$
В методе многих масштабов градиент и производные по времени преобразуются как:
$$ \nabla \to \nabla_x + \varepsilon \nabla_X, \quad \frac{\partial}{\partial t} \to \frac{\partial}{\partial t} + \varepsilon \frac{\partial}{\partial T} $$
Скорость и давление представляются в виде разложения:
u⃗ = u⃗0 + εu⃗1 + ε2u⃗2 + …, p = p0 + εp1 + ε2p2 + …
Подстановка этих выражений в уравнения и сборка членов одного порядка по ε даёт систему связанных уравнений, в которых:
Важной частью подхода является разложение переменных на среднее и флуктуирующее компоненты:
u⃗0(x, X, t, T) = ⟨u⃗0⟩(X, T) + u⃗0′(x, X, t, T)
где усреднение ⟨⋅⟩ проводится по быстрым переменным (или по ансамблю реализаций). Это позволяет вывести уравнение для эволюции среднего поля, в которое входят тензоры корреляций второго порядка (например, тензор Рейнольдса), характеризующие вклад флуктуаций.
Метод многих масштабов позволяет строго вывести уравнение для среднего поля, в котором возникает дополнительный эффективный член — турбулентная вязкость или другие нелинейные инварианты, зависящие от флуктуационных корреляций.
При развитии метода на более высокие порядки по ε выявляется, что флуктуации оказывают обратное влияние на крупномасштабную динамику. Возникают индуцированные токи, анизотропии, обратные каскады, которые нельзя получить в классическом приближении усреднённого поля без учёта согласованных взаимодействий между масштабами.
Такие эффекты особенно важны при наличии внешних полей (гравитация, вращение, магнитные поля), когда флуктуации могут организовываться в квазистрогие структуры (например, вихревые трубки, струи), существенно изменяющие поведение всей системы.
В турбулентном переносе пассивного скаляра θ(x, t), подчиняющегося уравнению:
$$ \frac{\partial \theta}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\theta = \kappa \nabla^2 \theta $$
метод многих масштабов приводит к появлению эффективного тензора диффузии Dijeff, отражающего влияние флуктуаций скорости на крупномасштабный перенос:
$$ \frac{\partial \langle \theta \rangle}{\partial T} = D_{ij}^{\text{eff}} \frac{\partial^2 \langle \theta \rangle}{\partial X_i \partial X_j} $$
Значения Dijeff могут существенно превышать молекулярную диффузию κ, что отражает усиленный перенос в турбулентной среде. Метод позволяет вычислить Dijeff из корреляционных функций флуктуаций u⃗′ и θ′.
В некоторых системах, особенно при наличии слабой диссипации или крупномасштабного организующего фактора, наблюдаются медленные моды — флуктуации, которые не затухают на характерном времени турбулентного каскада. Метод многих масштабов выявляет такие моды как остаточные члены в уравнениях более высокого порядка.
Это особенно важно при моделировании турбулентности в геофизических и астрофизических масштабах, где медленные моды управляют крупномасштабной устойчивостью, образованием циклонов, полосчатой структуры атмосферы и других квазипериодических образований.
Метод многих масштабов тесно связан с другими подходами к турбулентности:
При правильной постановке задачи и выборе масштаба, метод многих масштабов может быть строго выведен как предельный случай из более общих формализмов, например, уравнений Ландэ–Лифшица с шумовыми поправками или формализма морфологических резонансов.
При включении стохастических возмущений, например, в модели случайных форсирующих сил, метод многих масштабов используется для выделения медленной эволюции распределения вероятностей. Это приводит к уравнениям типа Фоккера–Планка для крупномасштабных статистических величин или к эффективным стохастическим дифференциальным уравнениям Ланжевена для усреднённых величин.
Такой подход лежит в основе кратного масштабного анализа Фридлина–Вентцеля, позволяющего описывать редкие флуктуации, переходы между метастабильными режимами и вероятность экстремальных событий в турбулентной среде.
Метод многих масштабов представляет собой строгую математическую основу для описания турбулентности, позволяющую систематически учитывать вклад различных масштабов без грубых аппроксимаций. Его преимущество заключается в возможности:
Благодаря этому метод многих масштабов является одним из центральных инструментов современной математической физики турбулентности.