Турбулентность и статистические методы
Турбулентные течения представляют собой одно из наиболее сложных и многообразных явлений в физике сплошных сред. Детальный анализ таких течений невозможен без привлечения статистических методов, поскольку детерминированное описание становится неосуществимым ввиду чувствительности к начальным условиям и огромного числа степеней свободы. Математическая физика обеспечивает формализм, в рамках которого можно систематически рассматривать статистические свойства турбулентных полей.
Пусть v(x, t) — вектор скорости жидкости, удовлетворяющий уравнениям Навье–Стокса:
∂tv + (v ⋅ ∇)v = −∇p + ν∇2v + f, ∇ ⋅ v = 0,
где p — давление, ν — кинематическая вязкость, f — внешняя сила.
В турбулентном режиме нас интересует не конкретное решение, а его статистическая структура. Вводится ансамбль возможных реализаций v(x, t), и определяются статистические усреднения, например:
Корреляционные функции второго порядка и спектры энергии играют ключевую роль.
Анализ турбулентности осуществляется в k-пространстве. Через преобразование Фурье:
$$ \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, t) = \int e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x}, t)\, d^3x, $$
определяется спектральная плотность энергии:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int_{|\mathbf{k}| = k} \langle \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, t) \cdot \hat{\mathbf{v}}^*(\mathbf{k}, t) \rangle\, d\Omega_k. $$
Для развитой изотропной турбулентности в инерциальном диапазоне действует закон Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
Из уравнений Навье–Стокса можно вывести точное соотношение для третьего момента при изотропии и стационарности — знаменитое уравнение Колмогорова 4/5:
$$ \langle [\delta v_L(\ell)]^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon \ell, $$
где δvL(ℓ) — продольная разность скоростей на расстоянии ℓ. Это единственное точное результативное выражение в теории турбулентности.
Прямое усреднение уравнений Навье–Стокса даёт бесконечную иерархию уравнений для корреляционных функций. Это приводит к проблеме замыкания. Например, уравнение для ⟨vivj⟩ содержит ⟨vivjvk⟩, и так далее.
Существуют различные приближения:
В инженерных расчетах широко применяется приближённое описание в терминах турбулентной вязкости:
$$ \langle v_i v_j \rangle \approx -\nu_T \left( \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle v_j \rangle}{\partial x_i} \right), $$
где νT — эффективная турбулентная вязкость, подлежащая моделированию. Такая замена допускает описание среднего поля без необходимости полного знания флуктуаций.
Метод перевала и асимптотические разложения
Многие физические задачи приводят к интегралам, содержащим малый параметр при фазе или под знаком экспоненты. Типичный вид:
I(λ) = ∫abf(x)eλϕ(x) dx, λ ≫ 1.
Такие интегралы оцениваются методами асимптотического анализа, включая метод перевала и метод стационарной фазы.
Если функция ϕ(x) имеет максимум (или седловую точку) в точке x0, и ϕ″(x0) < 0, то вблизи x0 экспонента eλϕ(x) резко возрастает, и основной вклад даётся малой окрестностью точки x0. Тогда:
$$ I(\lambda) \approx f(x_0) e^{\lambda \phi(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda |\phi''(x_0)|}}, \quad \lambda \to \infty. $$
Если x0 — точка максимума, метод называется методом Лапласа. Если же x0 — седловая точка комплексной функции ϕ(z), применим метод перевала в комплексной области.
Применим для осциллирующих интегралов вида:
I(λ) = ∫abf(x)eiλϕ(x) dx, λ ≫ 1.
Основной вклад в интеграл дают точки, где фаза стационарна: ϕ′(x0) = 0. Тогда:
$$ I(\lambda) \approx \sum_{x_0} f(x_0) e^{i\lambda \phi(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda |\phi''(x_0)|}} e^{i\frac{\pi}{4}\text{sgn}(\phi''(x_0))}. $$
Данный метод имеет важнейшее значение в квантовой механике (переход от интеграла по траекториям к классическим траекториям), в дифракции и распространении волн.
При наличии малых параметров возможно также формальное разложение функции в ряд:
$$ I(\varepsilon) = \int f(x, \varepsilon)\, dx = \sum_{n=0}^\infty \varepsilon^n I_n, $$
но при наличии экспоненциальных факторов асимптотика типа e−1/ε не улавливается такими разложениями. Именно поэтому методы перевала и стационарной фазы являются существенно более мощными для анализа интегралов экспоненциального типа.
Для многомерных интегралов:
I(λ) = ∫eλϕ(x)f(x) dnx,
вклад от седловых точек x0, где ∇ϕ(x0) = 0, даёт асимптотическое выражение:
$$ I(\lambda) \approx f(\mathbf{x}_0) e^{\lambda \phi(\mathbf{x}_0)} \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^{n/2} \left| \det \nabla^2 \phi(\mathbf{x}_0) \right|^{-1/2}. $$
Этот результат лежит в основе анализа флуктуаций около классических решений и статистических сумм в физике.
Методы асимптотического анализа критически важны в следующих областях:
Методы перевала, стационарной фазы и сопряжённые им техники формируют основу современного подхода к асимптотическому анализу в задачах с малыми/большими параметрами.