Методы Монте-Карло в статистической физике

Статистическое описание турбулентных течений

Турбулентные течения характеризуются хаотической, стохастической природой, что делает невозможным точное детерминированное описание полной картины движения. Однако наблюдается устойчивая статистическая структура — именно это позволяет применять статистические методы к анализу турбулентности. Основной объект исследования — это статистические моменты полей скоростей и давления, а также их корреляции.

Основные статистические характеристики

Пусть v(x, t) — поле скорости. Введем усреднение по ансамблю ⟨⋅⟩. Тогда:

  • Средняя скорость: ⟨v(x, t)⟩ = V(x, t)

  • Флуктуация скорости: v′(x, t) = v(x, t) − V(x, t)

  • Корреляционная функция второго порядка: Rij(r) = ⟨vi′(x)vj′(x + r)⟩

  • Спектральная плотность энергии: E(k) = Фурье-образ корреляционной функции Rii(r)

Спектр энергии в инерционном диапазоне подчиняется закону Колмогорова:

E(k) ∼ ε2/3k−5/3

где ε — средняя скорость диссипации энергии.

Уравнения Рейнольдса

Подставляя разложение v = V + v′ в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса:

$$ \frac{\partial V_i}{\partial t} + V_j \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 V_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle v_i' v_j' \rangle}{\partial x_j} $$

Тензор Рейнольдсовых напряжений ⟨vi′vj′⟩ требует замыкания, что приводит к различным моделям турбулентности.

Квази-стационарные и изотропные приближения

В случае стационарной, однородной и изотропной турбулентности существенное упрощение возможно. Все корреляционные функции зависят только от модуля расстояния r = |r|. Вводится функция продольной корреляции:

$$ f(r) = \frac{\langle v_\parallel(\mathbf{x}) v_\parallel(\mathbf{x} + \mathbf{r}) \rangle}{\langle v_\parallel^2 \rangle} $$

где v∥ — проекция на направление r.

Типичным является экспоненциальный или гауссов тип спада этой функции.

Методы Монте-Карло в статистической физике

Методы Монте-Карло представляют собой мощный численный инструмент, предназначенный для статистического моделирования сложных систем, где аналитическое решение невозможно. Они основаны на генерации случайных конфигураций и последующем статистическом усреднении.

Основы метода Монте-Карло

Целью является вычисление средних значений физических величин, зависящих от конфигураций системы. Например, в каноническом ансамбле:

$$ \langle A \rangle = \frac{1}{Z} \int A(x) e^{-\beta H(x)} dx, \quad Z = \int e^{-\beta H(x)} dx $$

где H(x) — гамильтониан, β = 1/kBT. Вычисление такого интеграла методом прямого суммирования неосуществимо для систем с большим числом степеней свободы. Метод Монте-Карло заменяет интеграл выборкой {xi}, сгенерированной по распределению Гиббса:

$$ \langle A \rangle \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N A(x_i) $$

Алгоритм Метрополиса

Наиболее широко используемый алгоритм:

  1. Задать начальное состояние x0.

  2. Сгенерировать новое состояние x′ с помощью некоторого переходного распределения T(x → x′).

  3. Вычислить приращение энергии ΔE = H(x′) − H(x).

  4. Принять x′ с вероятностью:

    P = min (1, e−βΔE)

  5. Повторить.

Этот алгоритм удовлетворяет условию детального баланса, обеспечивая сходимость к распределению Гиббса.

Применение в моделировании спиновых систем

Классический пример — модель Изинга. Пусть на решётке находятся спины si = ±1, взаимодействующие с соседями. Энергия системы:

H = −J∑⟨ij⟩sisj

Метод Монте-Карло позволяет определить среднюю намагниченность, теплоту, корреляции и фазовый переход вблизи критической температуры.

Автокорреляция и термализация

Ключевым вопросом является независимость конфигураций. Между двумя последовательными выборками присутствует корреляция. Время автокорреляции τ определяет число шагов, через которое можно считать конфигурации независимыми.

Для обеспечения достоверных результатов:

  • Осуществляется термализация: отбрасываются первые Nburn-in конфигураций.
  • Оценивается ошибка методом блочного усреднения или бутстрэп-методом.

Метрополис против кластерных алгоритмов

Метрополис-алгоритм страдает от критического замедления при приближении к точке фазового перехода. Кластерные алгоритмы (например, алгоритм Вольфа или Свенгера) эффективно решают эту проблему, строя и переворачивая целые кластеры спинов.

Применение в моделировании жидкостей

В системах с непрерывными степенями свободы (например, молекулярные жидкости) метод Монте-Карло используется с другим выбором переменных — положения частиц. Принцип тот же: случайные перемещения частиц и принятие новых конфигураций по критерию Метрополиса.

Типичная задача — моделирование жидкого и газового состояний, фазовых переходов, расчёт распределения радиальных корреляций g(r), энергии и давления.

Интеграция с другими методами

Методы Монте-Карло сочетаются с молекулярной динамикой, методом переносного уравнения Больцмана, вариационными методами. В квантовой статистике — используются кванто-Монте-Карло (например, путь интегральных представлений).

Особую роль играют в вычислениях:

  • Многомерная интеграция, где классические методы Квадратур становятся неэффективными.
  • Стохастическая оптимизация, в частности, вариационно-Монте-Карло методы.
  • Обратные задачи, когда искомая модель уточняется по статистике наблюдаемых данных.

Преимущества и ограничения

Преимущества:

  • Универсальность;
  • Простота реализации;
  • Хорошая масштабируемость.

Ограничения:

  • Требует большого числа итераций;
  • Слабая эффективность вблизи критических точек (решается кластерными методами);
  • Возникают проблемы с конфигурациями, имеющими высокую энергетическую стенку (высокий барьер).

Связь с турбулентностью

В моделях турбулентности статистическая природа течения делает методы Монте-Карло перспективными в задачах восстановления распределений, генерации синтетических турбулентных полей, оценки вероятностей редких событий и анализа эргодичности.

Пример — применение стохастических моделей типа субрешеточных моделей в больших вычислениях (LES), где подрешеточные напряжения моделируются с использованием статистических аппроксимаций.

Оглавление