Турбулентность и статистические методы
Природа турбулентных течений и их стохастическая структура
Турбулентные течения представляют собой крайне сложные, хаотические и нерегулярные движения жидкости или газа, сопровождаемые широким спектром временных и пространственных масштабов. Несмотря на кажущуюся непредсказуемость, в статистическом смысле турбулентные течения обладают определённой структурой, которая может быть описана методами вероятностной теории и математической статистики. Основной задачей статистической теории турбулентности является получение усреднённых уравнений, отражающих поведение ключевых физических величин (скорости, давления, энергии) и моделирующих влияние флуктуаций.
Рейнольдсово разложение и осреднённые уравнения Навье–Стокса
Пусть v⃗(x⃗, t) — вектор скорости в каждой точке пространства и времени. В рамках статистического подхода её представляют в виде суммы среднего и пульсационного (флуктуационного) компонента:
$$ \vec{v} = \overline{\vec{v}} + \vec{v}' $$
Аналогичное разложение применимо и к давлению:
$$ p = \overline{p} + p' $$
Подставляя эти разложения в уравнения Навье–Стокса и усредняя по ансамблю или времени (в предположении эргодичности), получают уравнения Рейнольдса, содержащие дополнительные члены, называемые рейнольдсовыми напряжениями:
$$ \rho \left( \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial t} + \overline{v}_j \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j} \right) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial^2 \overline{v}_i}{\partial x_j^2} - \rho \frac{\partial \overline{v_i'v_j'}}{\partial x_j} $$
Таким образом, возникает необходимость замыкания уравнений, т.е. моделирования второго порядка корреляций $\overline{v_i'v_j'}$.
Корреляционные функции и энергетический спектр
Турбулентность анализируется при помощи двухточечных корреляционных функций:
$$ R_{ij}(\vec{r}) = \overline{v_i(\vec{x}) v_j(\vec{x} + \vec{r})} $$
а также с помощью спектра турбулентной энергии E(k), получаемого в результате преобразования Фурье корреляционной функции. Именно спектр E(k) позволяет количественно оценивать распределение энергии по волновым числам k, что отражает вклад различных масштабов в структуру течения.
В инерционном интервале, в котором диссипация мала, спектр подчиняется закону Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — средняя скорость диссипации кинетической энергии.
К-ε модель и уравнения второго порядка
Одним из подходов к замыканию является модель турбулентной вязкости и система уравнений для двух скалярных величин:
Модель k − ε даёт следующие уравнения:
$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{v}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P_k - \varepsilon + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] $$
$$ \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{v}_j \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} = C_1 \frac{\varepsilon}{k} P_k - C_2 \frac{\varepsilon^2}{k} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_\varepsilon} \right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} \right] $$
где $\nu_t = C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}$ — турбулентная вязкость.
Статистическая теория Колмогорова
В 1941 г. А. Н. Колмогоров предложил фундаментальную гипотезу о локальной изотропии и универсальности статистических свойств турбулентных течений при достаточно больших числах Рейнольдса. Эти положения легли в основу построения иерархии моментов и введения структуры мультифрактального описания. Центральным является структурная функция второго порядка:
$$ D_{LL}(r) = \overline{[v_L(x + r) - v_L(x)]^2} $$
которая в инерционном интервале масштабов подчиняется закону:
DLL(r) ∼ (εr)2/3
Эти законы, вкупе с понятием масштабного каскада, дают универсальное описание статистической структуры турбулентности.
Нелинейные дифференциальные уравнения и фазовые портреты
Нелинейность в уравнениях физики
Большинство физических систем, описывающих колебания, турбулентность, теплообмен, распространение волн, подчиняются нелинейным дифференциальным уравнениям. Нелинейность может проявляться как в функциях, так и в производных, и приводит к фундаментально новым типам поведения: бифуркациям, хаосу, предельным циклам, солитонам.
Простейшие примеры — уравнение маятника:
$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega_0^2 \sin \theta = 0 $$
и уравнение Ван дер Поля:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} - \mu(1 - x^2)\frac{dx}{dt} + x = 0 $$
которые содержат типичную нелинейную структуру.
Фазовое пространство и фазовые портреты
Для исследования поведения решений нелинейных систем часто используют фазовое пространство, в котором каждая точка соответствует состоянию системы. Векторное поле, определяемое уравнением, формирует фазовый поток. Траектории фазового пространства отражают динамику.
Для автономной системы:
ẋ = f(x, y), ẏ = g(x, y)
фазовый портрет строится на плоскости (x, y). Ключевыми элементами фазового портрета являются:
Линеаризация и классификация особых точек
Для анализа устойчивости используют линеаризацию системы в окрестности равновесия. Пусть:
$$ \frac{d\vec{X}}{dt} = \vec{F}(\vec{X}) $$
и X⃗0 — точка равновесия. Линеаризованная система имеет вид:
$$ \frac{d\vec{\xi}}{dt} = J(\vec{X}_0) \vec{\xi} $$
где J — якобиан. Тип особой точки зависит от собственных значений матрицы J:
Бифуркации и хаос
Параметрическая зависимость уравнений может вызывать бифуркации — качественные изменения фазового портрета при изменении параметров. Примеры:
Классическая карта логистического отображения:
xn + 1 = rxn(1 − xn)
показывает, как при увеличении r система переходит от стационарного режима к хаосу через каскад удвоений периода.
Динамика Лоренца
Пример трёхмерной системы, иллюстрирующий переход к хаосу:
$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y - x) \\ \dot{y} = x(\rho - z) - y \\ \dot{z} = xy - \beta z \end{cases} $$
где σ, ρ, β — параметры. При определённых значениях параметров фазовое пространство заполняется странным аттрактором, демонстрирующим чувствительную зависимость от начальных условий.
Инварианты и интегрируемость
Некоторые нелинейные системы обладают первым интегралом или сохраняющейся функцией H(x, y), позволяющей полностью интегрировать уравнение. Пример — гамильтоновы системы:
$$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y} = -\frac{\partial H}{\partial x} $$
Траектории такой системы лежат на уровнях H(x, y) = const. Но большинство систем в реальной физике неинтегрируемы и исследуются численно или качественно.
Методы качественного анализа
Качественный подход позволяет описывать поведение решений, даже когда явное аналитическое решение невозможно.