Общая теория относительности и принцип эквивалентности в контексте математической физики
В рамках общей теории относительности (ОТО) гравитационное взаимодействие описывается как проявление кривизны пространства-времени. В отличие от ньютоновской теории, где гравитация трактуется как сила, действующая на расстоянии, здесь гравитационное поле отождествляется с метрическими свойствами четырёхмерного многообразия. Метрика gμν определяет расстояния и углы, а также путь свободно падающих тел (геодезические линии), описываемых уравнением:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0 $$
где Γνρμ — символы Кристоффеля, выражающие аффинную связность в координатной системе, τ — собственное время.
Принцип эквивалентности лежит в основании ОТО и формулируется в нескольких формах:
Математически этот принцип означает, что многообразие можно снабдить связностью Леви-Чивиты, совместимой с метрикой, при этом тензор кривизны Римана играет роль гравитационного поля.
Связь между геометрией пространства-времени и распределением материи и энергии в нём выражается через уравнения Эйнштейна:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
Здесь:
Уравнения описывают, как материя искривляет пространство-время. Они нелинейны и сложны для точного анализа, особенно в случае высокоасимметричных распределений энергии.
Математическая физика здесь проявляется в разработке строго определённых классов решений уравнений Эйнштейна, таких как:
Аналитические и численные методы математической физики позволяют исследовать устойчивость, асимптотику и физические последствия этих решений.
Уравнения Эйнштейна выводятся как вариационные уравнения из действия Гильберта:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_\text{материи} $$
Минимизация действия по метрике gμν даёт уравнения Эйнштейна. Этот вариационный подход позволяет применять методы Лагранжевой и гамильтоновой механики к гравитационной системе.
Из симметрий действия, согласно теореме Нётер, следуют законы сохранения. Однако в ОТО из-за общей ковариантности энергия и импульс гравитационного поля не локализованы в виде тензора, как это возможно в теории Максвелла.
Принцип общей ковариантности означает инвариантность физических уравнений при произвольных гладких преобразованиях координат. Это накладывает ограничения на допустимые функциональные пространства решений уравнений Эйнштейна: требуется высокая степень дифференцируемости (обычно C2 и выше), а также гиперболичность уравнений в их приведённой форме.
Решения, как правило, ищутся в классах псевдоримановых многообразий, при этом существенным является наличие начальных условий, удовлетворяющих уравнениям сопряжённости (constraint equations), возникающим при 3+1 разложении пространства-времени (формализм Арнова–Дезера–Мизнера).
ОТО не является полной теорией: она классическая и не учитывает квантовые эффекты. Поэтому математическая физика стремится к построению квантовой гравитации, в рамках которой метрика становится оператором. Попытки включают:
ĤΨ[gij] = 0
где Ĥ — гамильтониан, действующий на волновую функцию Вселенной.
Нелинейная природа уравнений Эйнштейна делает аналитические решения редкими. Поэтому активно развиваются численные методы:
Они опираются на строгие методы аппроксимации в функциональных пространствах, свойства гиперболических систем, анализ устойчивости и оценок энергии.
Физическая природа гравитации в ОТО отражается в свойствах параллельного переноса в криволинейном пространстве. Кривизна описывает, насколько вектор, перенесённый по замкнутому контуру, отличается от начального. Тензор Римана:
R σμνρ
измеряет эту некоммутативность переноса, определяя отклонение геодезических (второе уравнение геодезической девиации), что имеет прямое отношение к наблюдаемым эффектам: приливным силам, гравитационному красному смещению и т.д.
Экспериментально принцип эквивалентности подтверждается с высокой точностью:
Локально пространство всегда можно сделать плоским (в координатах локального наблюдателя), но глобально кривизна проявляется, например, в топологии многообразия, в возможности существования горизонтов событий и сингулярностей.
Согласно ОТО, в любой точке многообразия можно выбрать нормальные координаты, такие что:
gμν(x) = ημν + O(x2), Γμνρ(x) = 0 + O(x)
что отражает отсутствие гравитационного поля в локальной инерциальной системе до первого порядка. Это означает, что тензор кривизны — единственный геометрический инвариант, характеризующий наличие гравитационного поля, а его компоненты в локальных координатах связаны с наблюдаемыми величинами.
Если метрика допускает тензоры Киллинга ξμ, удовлетворяющие уравнению:
∇(μξν) = 0
то соответствующие компоненты импульса сохраняются вдоль геодезических, что позволяет интегрировать уравнения движения. Это приводит к существованию законов сохранения энергии, момента импульса и т.д., например, в симметричных решениях (Шварцшильд, Керр).
Математическая физика активно использует эти симметрии для упрощения моделей, сведения уравнений к эффективным одномерным системам, применения методов разделения переменных и теории специальных функций.
Общая теория относительности допускает обобщения, включающие взаимодействие с другими полями:
Все эти модели включаются в обобщённую схему вариационного исчисления и поддаются строгому анализу методами математической физики, включая спектральный анализ, обобщённые функции, гиперболические системы уравнений, теорию сингулярностей и теорию граничных задач.