Турбулентность и статистические методы
Турбулентность характеризуется хаотичностью, высокими градиентами скорости, наличием широкого спектра вихрей различных масштабов, а также случайными флуктуациями величин потока. Несмотря на хаотическую природу, турбулентность подчиняется определённым статистическим закономерностям, что делает возможным применение вероятностно-статистических методов при её описании.
Ключевыми характеристиками турбулентного потока являются:
Рассматривая поток как случайный процесс, полная информация о нём содержится в бесконечном наборе многоточечных вероятностных функций. Однако на практике прибегают к анализу лишь низших моментов и корреляций.
Для изучения турбулентных течений исходят из уравнений Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \Delta v_i, \quad \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0. $$
Разложим поле скорости и давления на среднюю и флуктуирующую части:
vi = v̄i + vi′, p = p̄ + p′.
Применяя осреднение по Рейнольдсу, получаем уравнение для среднего поля:
$$ \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial t} + \bar{v}_j \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \Delta \bar{v}_i - \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \overline{v_i' v_j'} \right), $$
где последний член описывает так называемый тензор Рейнольдса, отражающий влияние флуктуаций на среднее течение.
Тензор Рейнольдса $R_{ij} = \overline{v_i' v_j'}$ необходимо замкнуть для получения решаемой системы. Это и есть основная трудность турбулентности — проблема замыкания. Существуют различные подходы к её решению:
Гипотеза Буссинеска: предполагается, что тензор Рейнольдса пропорционален градиенту средней скорости:
$$ -\overline{v_i' v_j'} = \nu_t \left( \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{v}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \overline{v_i' v_i'}$ — турбулентная кинетическая энергия.
Двухпараметрические модели (например, k–ε и k–ω): строят уравнения для величин k и одной дополнительной переменной — диссипации энергии ε или частоты затухания ω.
Для характеристики структуры турбулентности используются корреляционные функции:
Двухточечная корреляция:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{v_i(\mathbf{x}) v_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}, $$
где осреднение может быть пространственным, временным или ансамблевым.
Изотропный случай: корреляции зависят только от длины вектора r, и можно ввести скалярные функции продольной и поперечной корреляции.
Связанные с ними — спектры энергии, получаемые преобразованием Фурье от корреляционных функций. Энергетический спектр E(k) описывает распределение турбулентной энергии по волновым числам:
$$ \int_0^{\infty} E(k) \, dk = \frac{1}{2} \overline{v_i' v_i'} = k. $$
В инерциальном поддиапазоне, по закону Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
В турбулентных течениях часто рассматриваются пассивные скалярные поля θ(x, t), удовлетворяющие уравнению адвеции-диффузии:
$$ \frac{\partial \theta}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \theta = \kappa \Delta \theta, $$
где κ — молекулярная диффузия. Анализ статистических свойств θ позволяет исследовать смешение и транспорт в турбулентных средах.
Флуктуации в турбулентных течениях обладают интермиттентным характером — редкие события с большими градиентами (например, скачки скорости) оказывают значительное влияние на высокие моменты распределения:
⟨|δv(r)|n⟩ ∼ rζn,
где δv(r) — приращение компоненты скорости на расстоянии r, а ζn — спектр масштабных экспонент. Для идеальной турбулентности Колмогорова ζn = n/3, но эксперименты показывают отклонения от этой линейной зависимости.
Среди методов анализа важную роль играют спектральные уравнения, полученные преобразованием Фурье уравнений движения. Они позволяют формализовать понятия переноса энергии по шкалам.
Важным инструментом является функция трёхточечной корреляции или т.н. уравнение Йаглома для пассивного скаляра:
⟨(δθ)2δv⟩ ∼ −εθr,
аналогично уравнению Колмогорова для инерциального диапазона:
$$ \langle (\delta v)^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r. $$
Эти соотношения являются редкими примерами точных результатов в турбулентности.
Общие тензоры и ковариантное дифференцирование
Тензор порядка (r, s) на многообразии — это отображение, многолинейное по r ковариантным и s контравариантным аргументам:
$$ T: \underbrace{T^*M \times \cdots \times T^*M}_r \times \underbrace{TM \times \cdots \times TM}_s \to \mathbb{R}. $$
В локальных координатах тензор представляется как массив компонент Tj1…jsi1…ir(x), которые трансформируются по известному правилу при замене координат. Алгебра тензоров включает операции свертки, симметризации, произведения.
Для обобщения производной на тензорные поля вводится аффинная связность. Связность задаётся набором коэффициентов Γijk, называемых символами Кристоффеля:
∇∂j∂i = Γijk∂k.
Эти коэффициенты не являются тензором, но позволяют определить ковариантную производную тензорного поля.
Для тензора Tj1…jsi1…ir ковариантная производная вдоль направления ∂k имеет вид:
$$ \nabla_k T^{i_1 \dots i_r}_{j_1 \dots j_s} = \partial_k T^{i_1 \dots i_r}_{j_1 \dots j_s} + \sum_{\alpha=1}^{r} \Gamma^{i_\alpha}_{kl} T^{i_1 \dots l \dots i_r}_{j_1 \dots j_s} - \sum_{\beta=1}^{s} \Gamma^{l}_{k j_\beta} T^{i_1 \dots i_r}_{j_1 \dots l \dots j_s}. $$
Такая производная сохраняет тензорный характер и используется в определении геометрических объектов, таких как кручение и кривизна.
На римановом многообразии вводится метрика gij, симметричная и положительно определённая. Единственной симметричной связностью, согласованной с метрикой, является связность Леви–Чивиты:
$$ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij} \right). $$
Эта связность обладает свойствами:
Коммутатор ковариантных производных определяет тензор Римана:
[∇i, ∇j]Vk = R lijkVl.
Тензор Римана выражается через символы Кристоффеля:
R jkli = ∂kΓlji − ∂lΓkji + ΓkmiΓljm − ΓlmiΓkjm.
Свёртки тензора кривизны дают тензор Риччи и скалярную кривизну:
Rij = R ikjk, R = gijRij.
Ковариантное дифференцирование и тензорный анализ играют ключевую роль в:
Тензорный подход обеспечивает координатно-независимое описание физических законов и позволяет естественным образом учитывать влияние геометрии пространства.