В рамках математической физики основой описания микрофизических процессов служит операторный подход, где классические физические величины заменяются линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве состояний. В квантовой механике любое наблюдаемое — энергия, импульс, координата, момент импульса и др. — соответствует самосопряжённому (эрмитову) оператору. Самосопряжённость оператора гарантирует действительность собственных значений, что физически отражает измеримость соответствующей величины.
Если Â и B̂ — два оператора наблюдаемых, то их композиционное поведение описывается коммутатором:
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â
Коммутационные соотношения лежат в основе соотношений неопределённостей и определяют совместимость или несовместимость измерений двух наблюдаемых.
В квантовой механике фундаментальными являются коммутационные соотношения между координатой x̂ и импульсом p̂:
[x̂, p̂] = iℏ
Это соотношение приводит к соотношению неопределённостей Гейзенберга:
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$
Более общо, система наблюдаемых формирует некоммутативную алгебру. Такие структуры важны не только в микромире, но и в макроскопических статистических описаниях, в частности — в теории турбулентности, где статистическая неопределённость возникает не из-за квантовых флуктуаций, а из-за сложности динамики.
Хотя классическая гидродинамика оперирует уравнениями Эйлера и Навье–Стокса, статистическая теория турбулентности также использует операторный язык. Функционалы от поля скоростей, например средние значения, корреляционные функции и операторы проектирования на медленные (грубые) переменные, играют аналогичную роль наблюдаемых.
Пусть u⃗(x⃗, t) — случайное векторное поле скоростей. Тогда средние значения, например ⟨ui(x⃗, t)⟩, и корреляции второго порядка ⟨ui(x⃗, t)uj(x⃗′, t′)⟩, интерпретируются как компоненты операторов в функциональном пространстве. Эти объекты образуют так называемое фазовое пространство статистических состояний.
Аналог коммутационных соотношений возникает при рассмотрении функциональных производных и нелокальной динамики. Например, операторы Ли и проекторы Морри–Цванцига позволяют формализовать динамику редуцированных переменных с введением интегральных по времени операторов памяти и стохастических шумов. Последние формализуются как операторы с неклассической алгеброй действия.
Метод Морри–Цванцига формализует переход от полной динамики к уравнениям для наблюдаемых величин с потерей информации о быстрых степенях свободы. Обозначим оператор эволюции ℒ, действующий на распределения вероятностей или функционалы от поля скоростей. Тогда
$$ \frac{d}{dt} A(t) = \mathcal{L} A(t) $$
С помощью проекторов ???? и ???? = 1 − ????, разделяющих медленные и быстрые переменные, динамика наблюдаемой величины A записывается как:
$$ \frac{d}{dt} \mathcal{P} A(t) = \mathcal{P} \mathcal{L} \mathcal{P} A(t) + \int_0^t K(t - \tau) \mathcal{P} A(\tau) d\tau + F(t) $$
где K(t) — оператор памяти, а F(t) — флуктуационный член, действующий как стохастический оператор.
Операторы ℒ, ????, ????, а также интегральные операторы памяти удовлетворяют определённой операторной алгебре, аналогичной коммутаторной структуре квантовой механики. Эти соотношения могут быть несимметричными и включать нелокальные временные зависимости, что является отражением причинной структуры и отсутствия микроскопической обратимости во многих случаях турбулентной динамики.
В статистическом описании турбулентности важным является нелинейный характер взаимодействий. Пусть $\hat{\mathcal{N}}$ — нелинейный оператор, отражающий взаимодействие вихрей, конвекции и других нелинейных эффектов. Тогда коммутаторы вида
$$ [\hat{\mathcal{N}}, \hat{T}] $$
где T̂ — оператор переноса, описывают корреляцию между нелинейными процессами и кинематической структурой поля.
Такого рода коммутаторы не сводятся к обычной алгебраической структуре, а требуют применения функционального анализа и теории операторных алгебр в бесконечномерных пространствах. Они становятся особенно значимыми при описании каскадных процессов — прямого и обратного каскадов энергии и вихря, где важную роль играет передача корреляций по масштабам.
В ряде подходов предлагается рассматривать турбулентное движение как аналог квантовой динамики с “эффективным постоянным Планка”, отражающей степень нерегулярности и множественности траекторий. В этом случае формулируется алгебра наблюдаемых в пространстве потоков с некоммутативными координатами, например:
[xi, xj] = iθij
где θij — тензор, зависящий от свойств среды и уровня турбулентности. Это приводит к возможности применения методов деформационного квантования и некоммутативной геометрии в статистической гидродинамике.
Такие представления позволяют описывать статистическую структуру вихрей, энергетические спектры, связанные с законами типа Колмогорова, и предсказывать спектральные особенности флуктуаций.
Часто операторный подход реализуется в спектральном представлении. Пусть u⃗(x⃗, t) — поле скоростей, и рассмотрим его Фурье-образ:
$$ \vec{u}(\vec{x}, t) = \int \tilde{\vec{u}}(\vec{k}, t) e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} d^3k $$
Тогда уравнения Навье–Стокса и производные статистические уравнения можно интерпретировать как операторные уравнения на пространстве функций $\tilde{\vec{u}}(\vec{k}, t)$. Коммутаторы между операторами ũi(k⃗) и их сопряжёнными отражают взаимодействие мод, а спектр оператора энергии:
$$ \hat{E}(k) = \frac{1}{2} \tilde{u}_i(\vec{k}) \tilde{u}_i^*(\vec{k}) $$
является наблюдаемой величиной, подлежащей статистической интерпретации. Его коммутаторы с нелинейными операторами отражают энергообмен между масштабами, что ключевым образом связано с каскадной динамикой.
Турбулентные системы, несмотря на хаотичность, часто подчиняются определённым симметриям. Использование алгебры Ли операторов, порождающих симметрии пространства-времени или внутренних степеней свободы (например, в МГД или Рейли–Бенарновской конвекции), позволяет формализовать инвариантные операторы и построить соответствующие интегралы движения в статистическом смысле.
Генераторы трансляций, вращений и масштабных преобразований действуют как наблюдаемые, подчиняющиеся коммутаторам вида:
[Ji, Jj] = iεijkJk, [D, Pi] = iPi, [Ki, Pj] = 2iδijD
где Ji, Pi, D, Ki — операторы углового момента, импульса, дилатаций и специальных преобразований соответственно. Эти структуры используются при построении инвариантных статистических ансамблей.