Основы теории групп и групповые операции

Группы симметрий в задачах математической физики

В математической физике группы и их представления играют фундаментальную роль в описании симметрий физических систем. Под группой понимается множество G, снабжённое бинарной операцией ⋅, удовлетворяющей следующим аксиомам:

Замкнутость: ∀a, b ∈ G, a ⋅ b ∈ G;
Ассоциативность: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c);
Наличие нейтрального элемента: ∃e ∈ G, a ⋅ e = e ⋅ a = a;
Наличие обратного элемента: ∀a ∈ G, ∃a⁻¹ ∈ G, a ⋅ a⁻¹ = a⁻¹ ⋅ a = e.

Если операция коммутативна, то группа называется абелевой.

Групповые операции и действия на пространствах

Пусть G — группа, X — множество. Действие группы G на X — это отображение

G × X → X, (g, x) ↦ g ⋅ x

удовлетворяющее условиям:

e ⋅ x = x для любого x ∈ X;
(g₁g₂) ⋅ x = g₁ ⋅ (g₂ ⋅ x) для всех g₁, g₂ ∈ G, x ∈ X.

Такие действия используются, например, при изучении симметрий уравнений в частных производных, преобразованиях координат, а также в квантовой механике при описании операторов симметрии.

Непрерывные группы и группы Ли

Группы, обладающие одновременно структурой гладкого многообразия, называются группами Ли. Примеры:

ℝⁿ с операцией сложения;
SO(n): группа ортогональных матриц с определителем +1;
SU(n): специальная унитарная группа.

Параметризация элементов группы Ли осуществляется через экспоненциальное отображение:

g = exp (t^aT_a),

где T_a — базис алгебры Ли, а t^a — реальные параметры.

Алгебра Ли и коммутаторы

Сопутствующей группе Ли структурой является алгебра Ли, определяемая как касательное пространство к единичному элементу группы с введённой операцией коммутатора:

[T_a, T_b] = f_ab^cT_c,

где f_ab^c — структурные коэффициенты алгебры.

Пример: алгебра ????????(3) вращений в трёхмерном пространстве:

[J_i, J_j] = ε_ijkJ_k,

где J_i — генераторы вращений, ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Представления групп и физические состояния

Представление группы G — это гомоморфизм D : G → GL(V), где V — векторное пространство. То есть каждому элементу группы сопоставляется обратимый линейный оператор:

D(g₁g₂) = D(g₁)D(g₂), D(e) = I.

В квантовой механике представления групп реализуются как унитарные операторы на гильбертовом пространстве состояний. Спектры гамильтонианов, инвариантность лагранжианов, выбор допустимых состояний — всё это определяется свойствами представлений группы симметрий системы.

Инварианты и касательные операторы

Инварианты группы — это величины, сохраняющиеся при действии группы. В математической физике это, например, интегралы движения, сохраняющиеся при преобразованиях симметрии.

В алгебре Ли инварианты строятся через коммутативные подалгебры и операторы Казимира. Для группы SO(3) таким инвариантом является:

J⃗² = J_x² + J_y² + J_z²,

который коммутирует со всеми генераторами:

[J⃗², J_i] = 0.

Теорема Нётер и непрерывные симметрии

Центральным результатом, связывающим группы и физику, является теорема Нётер: каждой непрерывной симметрии лагранжиана соответствует закон сохранения.

Пусть δqⁱ = εξⁱ(q, t) — бесконечно малое преобразование, оставляющее действие инвариантным. Тогда величина:

$$ Q = \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i} \xi^i $$

является сохраняющейся во времени.

Таким образом, симметрии определяют консервативные величины, лежащие в основе законов физики.

Классификация по представлениям и спектральная теория

Во многих задачах физики — особенно в квантовой теории поля и спектроскопии — физические состояния классифицируются по неприводимым представлениям группы симметрии.

Примеры:

Частицы в специальной теории относительности классифицируются по представлениям группы Пуанкаре;
В атомной физике электронные уровни классифицируются по представлениям SO(3) (вращения) и SU(2) (спин);
В квантовой хромодинамике цветовое пространство описывается представлениями SU(3).

Разложение состояния в базис неприводимых представлений позволяет находить квантовые числа, уровни энергии и вероятности переходов.

Интегрирование уравнений с симметрией

Симметрия может быть использована для упрощения и даже интегрирования уравнений в частных производных. Например:

При наличии трансляционной симметрии применяется преобразование Фурье;
При радиальной симметрии используется преобразование Ганкеля или функции Бесселя;
Для задач с вращательной симметрией естественно использовать сферические гармоники.

Групповые методы позволяют привести исходную задачу к инвариантной форме и использовать теорию представлений для её решения.

Статистические симметрии и турбулентность

В теориях с флуктуациями, таких как теория турбулентности, симметрии рассматриваются в статистическом смысле. Групповые методы позволяют выделять инвариантные характеристики статистических ансамблей, такие как тензоры второго порядка, изотропные корреляционные функции и т.д.

Применение симметрий в статистической физике включает:

Построение тензорных представлений для статистических корреляторов;
Разложение флуктуационных полей по инвариантным компонентам;
Определение универсальных характеристик в окрестности критических точек.

Группы и дифференциальные уравнения

Методы Ли позволяют находить симметрии нелинейных дифференциальных уравнений. Это делается путём поиска векторных полей V = ξ(x, u)∂_x + η(x, u)∂_u, которые оставляют дифференциальное уравнение инвариантным.

Алгоритм включает:

Преобразование уравнения с введённым векторным полем;
Выведение условий инвариантности (определяющие уравнения Ли);
Построение соответствующей группы преобразований;
Интегрирование или упрощение уравнения на инвариантных переменных.

Таким образом, теория групп лежит в основе как структурных, так и вычислительных методов в математической физике.