Полиномы Лежандра и сферические гармоники в статистическом описании турбулентности
В задачах, обладающих осесимметрией, часто применяются полиномы Лежандра Pn(x), являющиеся решением дифференциального уравнения Лежандра:
$$ (1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n(n + 1)y = 0, $$
где x = cos θ, θ — полярный угол в сферических координатах. Эти функции естественным образом возникают при разделении переменных в уравнениях математической физики, таких как уравнение Лапласа и волновое уравнение, в сферических координатах.
Полиномы Лежандра обладают следующими важными свойствами:
Ортогональность на отрезке [−1, 1]:
$$ \int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) \, dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{nm}, $$
что обеспечивает их использование в разложениях по ортонормированным базисам.
Нормировка: Pn(1) = 1 для всех n, что важно при граничных условиях на полюсах.
Рекуррентные соотношения, позволяющие эффективно строить полиномы:
(n + 1)Pn + 1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn − 1(x).
Эти свойства делают полиномы Лежандра основой для дальнейшего построения сферических гармоник, играющих важную роль в статистическом описании изотропной турбулентности.
Сферические гармоники Ylm(θ, φ) — это специальные функции, являющиеся собственными функциями оператора Лапласа на сфере:
ΔсфYlm(θ, φ) = −l(l + 1)Ylm(θ, φ),
где l ∈ ℕ0, m ∈ {−l, −l + 1, ..., l}, θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π). Они выражаются через полиномы Лежандра следующим образом:
Ylm(θ, φ) = NlmPl|m|(cos θ)eimφ,
где Plm — присоединённые полиномы Лежандра, а Nlm — нормирующий множитель:
$$ N_l^m = \sqrt{\frac{(2l + 1)}{4\pi} \cdot \frac{(l - |m|)!}{(l + |m|)!}}. $$
Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базис в пространстве квадратируемых функций на сфере L2(S2), что делает их удобным инструментом для спектрального анализа скалярных и векторных полей на сфере.
В статистической теории турбулентности одной из центральных задач является изучение пространственной корреляционной функции скорости:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
где усреднение берётся по ансамблю. При изотропии эта тензорная функция зависит только от расстояния r = |r| и углового направления $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$.
Изотропность позволяет разложить зависимость от угла $\hat{\mathbf{r}}$ в ряд по сферическим гармоникам. Например, для скалярной функции $f(\hat{\mathbf{r}})$:
$$ f(\hat{\mathbf{r}}) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} a_{lm} Y_l^m(\theta, \varphi), $$
где коэффициенты alm определяются как
$$ a_{lm} = \int_{S^2} f(\hat{\mathbf{r}}) \overline{Y_l^m(\theta, \varphi)} \, d\Omega. $$
Для векторных и тензорных величин аналогично используются тензорные сферические гармоники, которые строятся из комбинаций Ylm, их градиентов и роторов на сфере.
В однородной изотропной турбулентности поле скорости удобно описывать в спектральном пространстве. Спектральная плотность энергии E(k) — функция волнового числа k — часто изучается при помощи разложения полей в сферические волны, зависящие от радиального и углового компонента.
В этом контексте сферические гармоники используются для описания угловой структуры поля в k-пространстве. Если $\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k})$ — преобразование Фурье поля скорости, то для изотропного случая можно разложить
$$ \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k}) = \sum_{l, m} \tilde{u}_{l m}(k) \mathbf{Y}_{l m}(\hat{\mathbf{k}}), $$
где Ylm — векторные сферические гармоники.
Энергетический спектр определяется через усреднение модулей коэффициентов:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \sum_{l, m} |\tilde{u}_{l m}(k)|^2. $$
Это разложение эффективно описывает изотропное распределение энергии по масштабам и углам, позволяя отделить радиальную и угловую зависимость.
В реальных течениях наблюдается отклонение от изотропии, особенно на больших масштабах (например, при наличии стенки, градиента давления и пр.). В таких случаях расширения по сферическим гармоникам остаются полезными, поскольку они обеспечивают систематическое описание отклонений от изотропии:
Анализ вклада различных l-мод в тензорные корреляционные функции позволяет количественно характеризовать степень анизотропии. Особенно важным оказывается анализ четности мод и их вкладов в различные компоненты тензора скоростей или вихревого поля.
В задачах, где важна масштабная структура турбулентности (например, в теории Колмогорова), сферические гармоники применяются в комбинации с вейвлетами или сферическими функциями Бесселя при построении многомасштабных представлений, таких как:
f(r) = ∑n, l, mcnlmjl(knr)Ylm(θ, φ),
где jl(kr) — сферические функции Бесселя, обеспечивающие радиальное масштабирование. Такое представление позволяет одновременно учитывать как пространственную структуру поля, так и его энергетическую насыщенность на различных масштабах и направлениях.
В теории Краича по двумерной и трехмерной турбулентности также используется разложение полей в угловом базисе. Исследование угловых корреляций, таких как
$$ C(\theta) = \langle \mathbf{u}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}(\mathbf{x} + r \hat{\mathbf{e}}(\theta)) \rangle, $$
ведёт к представлению C(θ) в виде ряда по полиномам Лежандра:
$$ C(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} A_l(r) P_l(\cos\theta), $$
что удобно как в аналитических, так и в численных подходах при анализе экспериментальных или вычислительных данных (например, данных DNS — прямого численного моделирования турбулентности).
Сферические гармоники и полиномы Лежандра обеспечивают строгий, аналитически контролируемый способ описания угловой структуры статистических характеристик турбулентного поля. Они лежат в основе как аналитических методов теории, так и численных алгоритмов (например, сферического гармонического анализа в моделировании климата, космологии и турбулентных течений).
Их применение позволяет:
В контексте математической физики они представляют собой фундаментальный мост между симметрией уравнений и структурой физических решений.