Фундаментальные уравнения турбулентной гидродинамики
Основой описания турбулентного течения являются уравнения Навье–Стокса. В случае несжимаемой жидкости они записываются в виде:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}, \quad \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, $$
где v(x, t) — поле скорости, p(x, t) — давление, ν — кинематическая вязкость, ρ — плотность, f — внешняя сила. Несмотря на строгость формулировки, поведение решений при больших числах Рейнольдса демонстрирует хаотическую структуру — турбулентность.
Статистическое описание турбулентности
Так как детерминированный подход оказывается неэффективным, особенно в развитом турбулентном режиме, применяется статистическое описание. Основной объект — ансамбль реализаций поля скорости, порождающий вероятностное распределение. Вводятся средние величины:
⟨vi(x, t)⟩, ⟨vi(x, t)vj(x′, t′)⟩, и т.д.
Среднее производится по ансамблю или времени, при условии эргодичности. Возникают важные корреляционные функции, в частности — двуточечная корреляционная функция скорости:
Rij(r) = ⟨vi(x)vj(x + r)⟩,
характеризующая структуру флуктуаций. Центральное место занимает энергетический спектр E(k), задающий распределение кинетической энергии по волновым числам.
Уравнение Колмогорова и инерционный интервал
Колмогоровская теория 1941 года (K41) — краеугольный камень феноменологического подхода. Основное предположение — существование инерционного интервала l ≪ r ≪ L, в котором вязкость и энергия подкачки несущественны, а динамика подчиняется универсальным законам. Колмогоров вывел:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии. Это универсальное распределение подтверждено экспериментально во множестве систем.
Уравнения для статистических моментов: замкнутость и гипотезы
Вывод уравнений для моментов (например, уравнения Кármán–Howarth) приводит к иерархии:
∂t⟨vivj⟩ = … + ⟨vivjvk⟩ + …,
что создаёт проблему замыкания: для получения уравнения на n-й момент необходимо знать n + 1-й. Эту проблему решают с помощью моделей, аппроксимаций (гипотеза локального изотропного каскада, модель Эдди-вязкости и др.).
Функции распределения и теория Ландау
Более фундаментальный подход — построение функционала распределения вероятностей P[v], аналогичного распределению Гиббса. Вводится функциональный интеграл и осуществляется переход к статистической механике бесконечномерных систем. Для стохастических уравнений используется метод Мартенса–Ямаке–Джансена или подходы теории возмущений.
Калибровочные теории и их математическая структура
Калибровочная инвариантность — центральный принцип современной теоретической физики. Пусть имеется калибровочная группа G (например, U(1), SU(2), SU(3)), и поле ψ трансформируется по представлению этой группы. Тогда вводится калибровочное поле Aμ, принимающее значения в алгебре Ли ????, с ковариантной производной:
Dμψ = ∂μψ + igAμψ.
Калибровочный тензор поля (или напряжённость):
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ + ig[Aμ, Aν],
является аналогом тензора электромагнитного поля. Динамика задаётся лагранжианом Янга–Миллса:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}). $$
Солитонные решения и топологическая классификация
Солитоны — локализованные стабильные конфигурации поля, сохраняющие свою форму. В калибровочных теориях они приобретают топологическую природу, обусловленную непрерывными отображениями между пространствами.
Простейший пример — магнитный монополь ’т Хоофта–Полякова в теории с группой SU(2), нарушенной скалярным полем ϕa. Класс решений определяется отображением на сфере:
ϕ : S∞2 → SU(2)/U(1) ≃ S2,
описываемое элементом гомотопической группы π2(S2) = ℤ. Таким образом, каждому целому числу соответствует своя топологическая сектора.
Теория сечения и характеристические классы
В более геометрической формулировке поля рассматриваются как сечения расслоения с базой в физическом пространстве и типичным слоем — группой G. Топологическая структура определяется характеристическими классами, такими как число Черна или интеграл Понтрягина:
$$ Q = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4x \, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma}), $$
инвариантный относительно непрерывных преобразований и целочисленный. Он характеризует инстантоны — солитонные решения в евклидовом пространстве, связанные с туннелированием между вакуумами.
Инстантоны и квантовая теория поля
Инстантоны играют ключевую роль в нетривиальной структуре вакуума в калибровочных теориях. Например, в квантовой хромодинамике (QCD) они объясняют разрыв U(1) симметрии и разрешают проблему η′-мезона. Для SU(2) инстантон определяется размером ρ, положением x0 и числом Q. Эти параметры образуют модульное пространство решений, чья квантовая теория описывает важные неренормализуемые эффекты.
Солитоны в (1+1) и (2+1) измерениях
В низших размерностях также существуют топологические конфигурации: киинки (в модели ϕ4), вихри Абрикосова–Нильсена–Олесена (в теории Гинзбурга–Ландау) и скейрмионы. Они часто возникают в конденсированных средах и моделях ферромагнетизма. Их топологический заряд связан с π1, π2 соответствующих пространств конфигураций.
Калибровочные поля в нелинейных и интегрируемых системах
Некоторые теории, например, нелинейная сигма-модель, допускают формулировку в терминах калибровочных полей. Интегрируемые модели (например, модель Весс–Зумино–Новикова–Виттена) содержат топологические термины в действии, обеспечивающие квантовую когерентность и защищённость от перенормировок.
Топологические дефекты и фазовые переходы
В теории фазовых переходов второго рода топологические солитоны соответствуют дефектам: доменные стенки, линии разрыва, точечные дефекты. Их возникновение определяется теоремой Киббла–Зурека. Они описываются аналогичной топологией, что и калибровочные солитоны, с ролью поля порядка вместо калибровочного поля.