Общие принципы статистического подхода к турбулентности
Турбулентные потоки характеризуются высокой степенью хаотичности и многошкальной структурой. Прямое аналитическое описание таких систем в терминах уравнений Навье–Стокса приводит к чрезвычайно сложной задаче, практически неразрешимой в общем виде. Поэтому развитие статистических методов стало необходимым этапом в изучении турбулентности. Статистическая теория турбулентности стремится описать не сами мгновенные поля скорости и давления, а их усреднённые характеристики, такие как среднее значение, корреляционные функции, спектры энергии и другие вероятностные характеристики.
В рамках статистического описания, основным объектом анализа становятся усреднённые поля:
Такие статистические величины подчиняются своим уравнениям — например, уравнению Колмогорова для функции двухточечной корреляции.
Корреляционные функции и спектры
Ключевыми объектами являются функции корреляции второго порядка:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
которые при стационарности и однородности зависят только от относительного радиус-вектора r. Их преобразование Фурье даёт спектральную тензорную функцию:
Φij(k) = ∫e−ik ⋅ rRij(r) dr,
откуда получают распределение энергии по волновым числам:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int \Phi_{ii}(\mathbf{k})\, \delta(|\mathbf{k}| - k) \, d\mathbf{k}. $$
В изотропной турбулентности спектр энергии зависит только от модуля вектора k. Колмогоровская гипотеза инерциального интервала приводит к известному закону:
E(k) ∝ ε2/3k−5/3,
где ε — среднее значение диссипации энергии на единицу массы в единицу времени.
Уравнение Колмогорова
Для описания передачи энергии от крупномасштабных вихрей к мелкомасштабным используется уравнение Колмогорова (четвёртого порядка), выведенное из уравнений Навье–Стокса при помощи гипотез об изотропии и однородности:
$$ -\frac{4}{5} \varepsilon r = \langle [\delta u_L(r)]^3 \rangle, $$
где δu_L(r) — продольная разность компоненты скорости между двумя точками, расположенными на расстоянии r вдоль некоторого направления.
Это фундаментальное соотношение даёт прямое предсказание для третьего момента при определённых масштабах и подтверждается экспериментально.
Статистические замыкания
Системы уравнений для корреляционных функций не являются замкнутыми: каждое уравнение содержит корреляции более высокого порядка. Это приводит к необходимости использования замыкающих гипотез. Одним из подходов является модель Кра́йха́нана — Хо́ва — Ла́ндо, использующая предположения о гауссовском распределении скоростей и инерциальной передачи энергии.
Среди других моделей замыкания:
Интерпретация через вероятностные распределения
Помимо корреляционных функций, турбулентность можно описывать с помощью функций распределения вероятностей (ФРВ) для компонент скорости, градиентов скорости и других полей. Важными характеристиками являются:
Интермиттенция
Интермиттенция — это свойство турбулентных течений проявлять перемежающуюся интенсивность турбулентности в пространстве и времени. Она приводит к отклонению от простых скейлинговых законов Колмогорова. Для её описания используются мультифрактальные модели, основанные на предположении о фрактальной структуре носителя диссипации энергии.
Связь симметрий и уравнений математической физики
Многие уравнения математической физики обладают симметриями, описываемыми группами преобразований. Например, уравнения Максвелла, уравнения волнового типа или уравнение Шрёдингера инвариантны относительно определённых групп преобразований: поворотов, преобразований Лоренца, галилеевых сдвигов и т.д. Эти симметрии связаны с законами сохранения — импульса, момента, энергии.
Изучение симметрий сводится к анализу действий групп Ли на пространства решений. Представления этих групп становятся инструментом для классификации, разложения и понимания структуры решений уравнений.
Определение представления группы
Пусть G — группа, а V — векторное пространство. Представлением группы G называют гомоморфизм:
ρ : G → GL(V),
где GL(V) — группа всех линейных автоморфизмов пространства V. Иными словами, каждому элементу g ∈ G ставится в соответствие линейное преобразование ρ(g), действующее на V, при этом:
ρ(g1g2) = ρ(g1)ρ(g2).
Неприводимые представления
Представление называется неприводимым, если в пространстве V не существует инвариантного подпространства (кроме тривиальных {0} и V), относительно которого все операторы ρ(g) сохраняют структуру. Любое конечномерное представление можно разложить в прямую сумму неприводимых.
Неприводимые представления служат «атомами» в спектральном анализе операторов, инвариантных относительно действия группы. Например, сферические гармоники являются базисом в пространстве функций на сфере, соответствующим неприводимым представлениям группы вращений SO(3).
Группы Ли и их алгебры
Континуальные группы симметрий, такие как группы Ли, обладают дифференцируемой структурой и связаны с алгебрами Ли — касательными алгебрами при единице группы. Каждой группе Ли соответствует алгебра Ли, определяемая как линейное пространство с антисимметричной билинейной операцией (коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби:
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0.
Элементы алгебры Ли можно отождествить с инфинитезимальными генераторами симметрий — дифференциальными операторами, оставляющими уравнение инвариантным.
Примеры: SO(3), SU(2), SL(2, ℝ)
Гармонический анализ на группах
Аналогично преобразованию Фурье на ℝⁿ, на компактных группах можно ввести разложение функций по базису, соответствующему неприводимым представлениям. Теорема Питера — Вейля утверждает, что матричные элементы неприводимых унитарных представлений образуют ортонормированный базис в пространстве квадрат-суммируемых функций на компактной группе G:
f(g) = ∑π ∈ Ĝdπ Tr(Aππ(g)),
где Ĝ — множество эквивалентных классов неприводимых представлений группы, dπ — их размерности, Aπ — матрицы коэффициентов разложения.
Применения в уравнениях математической физики
Обобщения: теорема Фробениуса, теория характеров
Для конечных групп и компактных групп важными инструментами являются характеры представлений — функции, ассоциирующие каждому элементу группы след матрицы представления. Они содержат полную информацию о структуре представления. Ортогональные свойства характеров позволяют вычислять кратности в разложении, находить инварианты и определять эквивалентность представлений.
В контексте бесконечномерных групп (например, групп Ли) теория представлений усложняется, требуя более глубоких средств функционального анализа — таких как теория операторов, теория распределений и спектральный анализ.