Преобразование Фурье является одним из центральных понятий математической физики, применяемым для анализа функций, описывающих волновые, диффузионные, колебательные и турбулентные процессы. Для функции f(x), принадлежащей пространству L1(ℝn), прямое преобразование Фурье определяется выражением
f̂(ξ) = ∫ℝnf(x)e−2πix ⋅ ξ dx,
где ξ ∈ ℝn, а скалярное произведение $x \cdot \xi = \sum_{j=1}^n x_j \xi_j$. Обратное преобразование, при выполнении необходимых условий, восстанавливает исходную функцию:
f(x) = ∫ℝnf̂(ξ)e2πix ⋅ ξ dξ.
Линейность: Преобразование Фурье линейно:
ℱ{af + bg} = af̂ + bĝ,
где a, b ∈ ℂ, а f, g ∈ L1(ℝn).
Сдвиг и модуляция: Если f(x − x0), то ℱ{f(x − x0)} = e−2πiξ ⋅ x0f̂(ξ). Если f(x)e2πiξ0 ⋅ x, то ℱ{f(x)e2πiξ0 ⋅ x} = f̂(ξ − ξ0).
Дифференцирование:
$$ \mathcal{F}\left\{\frac{\partial^k f}{\partial x_j^k}\right\} = (2\pi i \xi_j)^k \hat{f}(\xi). $$
Свойство свёртки:
ℱ{f * g} = f̂(ξ) ⋅ ĝ(ξ), ℱ−1{f̂ ⋅ ĝ} = f * g,
где * — операция свёртки:
(f * g)(x) = ∫ℝnf(x − y)g(y) dy.
Для квадратно-интегрируемых функций f ∈ L2(ℝn) преобразование Фурье продолжается по плотности на всё пространство L2 и становится унитарным оператором. В частности, выполняется теорема Парсеваля:
∫ℝn|f(x)|2 dx = ∫ℝn|f̂(ξ)|2 dξ.
Это фундаментальное свойство позволяет интерпретировать |f̂(ξ)|2 как распределение энергии по частотам, что особенно важно при анализе турбулентных течений и флуктуационных полей.
Преобразование Фурье является эффективным инструментом для редукции линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим уравнениям. В случае уравнения теплопроводности:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \Delta u, \quad u(x, 0) = f(x), $$
применение преобразования Фурье по пространственным переменным приводит к:
$$ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = -4\pi^2 \kappa |\xi|^2 \hat{u}, \quad \hat{u}(\xi, 0) = \hat{f}(\xi), $$
решением которого является:
û(ξ, t) = f̂(ξ)e−4π2κ|ξ|2t.
Обратное преобразование Фурье даёт:
u(x, t) = ∫ℝnf̂(ξ)e−4π2κ|ξ|2te2πix ⋅ ξ dξ,
что есть фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Аналогично, волновое уравнение:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u $$
при Фурье-преобразовании сводится к системе уравнений с решениями вида:
û(ξ, t) = A(ξ)cos (2πc|ξ|t) + B(ξ)sin (2πc|ξ|t),
что иллюстрирует разложение поля на гармонические моды.
В теории турбулентности преобразование Фурье используется для спектрального разложения скоростного поля v(x, t) в пространстве волновых векторов:
$$ \mathbf{v}(x,t) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{\mathbf{v}}(\xi, t) e^{2\pi i x \cdot \xi} \, d\xi. $$
Здесь $\hat{\mathbf{v}}(\xi, t)$ содержит информацию о распределении энергии по масштабам движения. Это приводит к определению спектра энергии E(k), зависящего от модуля волнового вектора k = |ξ|. Энергия, заключённая в интервале [k, k + dk], выражается как:
dE = E(k) dk.
В случае изотропной турбулентности, по гипотезе Колмогорова, в инерциальном интервале справедливо:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — скорость диссипации кинетической энергии. Такое поведение спектра напрямую устанавливается с помощью Фурье-анализа турбулентных скоростей.
Центральным объектом статистического подхода к турбулентности является функция корреляции скоростей:
Rij(r) = ⟨vi(x)vj(x + r)⟩,
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю или времени. Спектр Фурье этой функции:
Φij(ξ) = ∫ℝnRij(r)e−2πiξ ⋅ r dr
даёт спектральную плотность энергии и напряжений. В изотропной турбулентности спектральная тензорная плотность энергии имеет форму:
$$ \Phi_{ij}(\xi) = \left( \delta_{ij} - \frac{\xi_i \xi_j}{|\xi|^2} \right) \Phi(|\xi|), $$
где Φ(|ξ|) — скалярная спектральная функция, определяющая энергетический вклад моды ξ.
При моделировании турбулентных течений, особенно в периодических или замкнутых областях, используются дискретные аналоги преобразования Фурье — дискретное и быстрое преобразование Фурье (DFT и FFT). Применение этих методов к полям скорости и давления позволяет эффективно вычислять свёртки, производные, проектировать поля на бездивергентные подпространства и анализировать взаимодействие мод в нелинейных уравнениях Навье–Стокса.
Фурье-преобразование можно расширить на обобщённые функции (распределения), включая дельта-функцию:
ℱ{δ(x − x0)} = e−2πiξ ⋅ x0, ℱ{1} = δ(ξ),
что важно при анализе начальных условий, источников и сингулярных решений. Эти свойства находят применение в линейной теории турбулентности, в линейной акустике, и при изучении устойчивости течений.
Преобразование Фурье позволяет выделить доминирующие пространственные моды в турбулентных потоках. При применении методов, таких как спектральная ПОД (Порядковая ортогональная декомпозиция) или DMD (динамическое модальное разложение), анализ Фурье является важным шагом в извлечении устойчивых структур и реконструкции потока из набора базисных функций.
Преобразование Фурье представляет собой не только универсальный математический инструмент, но и глубоко физическое средство для интерпретации, упрощения и вычисления сложных явлений в теории турбулентности. Оно связывает локальные и глобальные свойства поля, масштабы движения и уровни энергии, делая возможным переход от уравнений в конфигурационном пространстве к ясной спектральной картине, отражающей внутреннюю структуру турбулентного режима.