Во многих задачах математической физики, особенно при описании турбулентных течений, встречаются системы с цилиндрической симметрией. Типичными примерами являются осесимметричные струи, вихри, реактивные потоки в трубах и турбулентность в плазме. В таких случаях удобно использовать цилиндрические координаты:
$$ (x, y, z) \rightarrow (r, \varphi, z), \quad \text{где } r = \sqrt{x^2 + y^2}. $$
Если поле (например, скорость или давление) не зависит от угла φ, уравнения упрощаются, и решение может быть представлено в виде функций только от радиуса r и координаты z или времени t.
Преобразование Ганкеля — это интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но специально адаптированное к цилиндрической симметрии. Оно базируется на свойствах функций Бесселя первого рода Jν(r), которые являются собственными функциями оператора Лапласа в цилиндрических координатах.
Преобразование Ганкеля порядка ν для функции f(r), определённой на r ∈ [0, ∞), задаётся формулой:
ℋν{f(r)}(k) = ∫0∞f(r)Jν(kr)r dr,
а обратное преобразование:
f(r) = ∫0∞ℋν{f}(k)Jν(kr)k dk.
Это преобразование является самосопряжённым и ортогональным в пространстве функций с весом r, аналогично преобразованию Фурье в декартовых координатах.
Одно из ключевых преимуществ преобразования Ганкеля заключается в его способности диагонализовать оператор Лапласа в радиальной части. Для осесимметричной функции f(r) уравнение Лапласа в цилиндрических координатах сводится к:
$$ \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{df}{dr} \right). $$
После применения преобразования Ганкеля:
$$ \mathcal{H}_0\left\{ \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{df}{dr} \right) \right\}(k) = -k^2 \mathcal{H}_0\{f\}(k), $$
что позволяет сводить дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным алгебраическим уравнениям в пространстве спектра.
В контексте турбулентных течений, уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах принимают сложную форму. Однако при наличии осевой симметрии и подходящих предположениях (например, для осесимметричных струй) возможно применить преобразование Ганкеля к радиальной компоненте уравнений.
Для радиальной компоненты уравнения Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} + \nu \left( \nabla^2 u_r - \frac{u_r}{r^2} \right), $$
после преобразования Ганкеля первого порядка (так как ur ∼ r) дифференциальные операторы становятся алгебраическими, и решение сводится к интегро-дифференциальному анализу в спектральном пространстве.
Цилиндрическая симметрия и преобразование Ганкеля особенно удобны при статистическом описании изотропной или осесимметричной турбулентности. Автокорреляционная функция скорости R(r) может быть связана с её спектром E(k) через преобразование Ганкеля:
R(r) = ∫0∞E(k)J0(kr)k dk.
Обратное преобразование:
E(k) = ∫0∞R(r)J0(kr)r dr.
Таким образом, спектр турбулентной энергии в цилиндрической геометрии может быть получен напрямую из экспериментальных или численных данных о корреляциях скоростей.
В случае осесимметричной турбулентности вдоль z-оси, удобно использовать двойное преобразование: преобразование Фурье по координате z и Ганкеля по r, получая двухмерное спектральное представление:
û(kr, kz) = ∫0∞∫−∞∞u(r, z)J0(krr)e−ikzzr dz dr.
Такой подход применяется при анализе течений в струях, вихрях, кольцах, в плазменных колоннах и других структурах с осевой симметрией.
На практике преобразование Ганкеля применяется с использованием численного интегрирования или дискретизации с помощью так называемого быстрого преобразования Ганкеля (Fast Hankel Transform), основанного на табулированных нулях функций Бесселя и их ортогональности. Это особенно важно в задачах моделирования и симуляции турбулентности, где необходима высокая точность в обработке спектров.
При дискретизации пространства r с использованием специальных сеток, адаптированных под свойства функций Бесселя, возможно проведение точных численных преобразований с контролем погрешности. Кроме того, спектральные методы, использующие базис функций Бесселя, позволяют решать уравнения типа:
(∇2 − λ2)u(r) = f(r),
в которых решение представляется в виде разложения по функциям Бесселя.
В теории крупномасштабной турбулентности и моделях, основанных на предположении изотропности или осевой симметрии (например, модель Колмогорова или осесимметричные модели спектра турбулентности), преобразование Ганкеля служит естественным инструментом для анализа спектров и масштабных зависимостей.
В частности, спектр энергии, зависящий только от модуля волнового вектора k, в цилиндрически симметричной системе может быть интерпретирован через проекцию на радиальный спектр с помощью преобразования Ганкеля. Это важно для интерпретации данных, полученных в осесимметричных экспериментах или численных моделях (DNS, LES), особенно когда анализируются продольные и поперечные структуры флуктуаций.