Преобразование Меллина представляет собой интегральное преобразование, тесно связанное с анализом степенных функций и широко применяемое в задачах математической физики, особенно в контексте анализа масштабной инвариантности и самоподобных структур, характерных для турбулентных течений. Пусть f(x) — локально интегрируемая функция на интервале (0, ∞). Преобразование Меллина ℳ{f}(s) определяется как:
ℳ{f}(s) = ∫0∞xs − 1f(x) dx,
где комплексный параметр s = σ + iτ, и область сходимости интеграла зависит от асимптотического поведения f(x) при x → 0 и x → ∞.
Меллиново преобразование особенно эффективно при работе с функциями, обладающими степенным ростом или убыванием, что делает его удобным инструментом при изучении масштабно-инвариантных статистических характеристик турбулентности.
Если функция f(λx) = λαf(x), то она называется однородной функцией степени α. Тогда её Меллиново преобразование обладает простым свойством:
ℳ{f(λx)}(s) = λ−sℳ{f(x)}(s).
Это свойство особенно важно при анализе турбулентности, где многие физические величины (например, флуктуации скорости) демонстрируют масштабное поведение в инерциальной области. Именно это позволяет моделировать спектральные плотности, корреляционные функции и распределения энергии с использованием степенных законов и соответствующих Меллиновых преобразований.
Преобразование Меллина можно рассматривать как «логарифмическое Фурье-преобразование». Действительно, подстановкой x = et получаем:
ℳ{f}(s) = ∫−∞∞estf(et)dt = ℱ{g(t)}(is), где g(t) = f(et).
Такой подход позволяет использовать методы комплексного анализа для исследования асимптотического поведения оригинальной функции, в частности, анализируя сингулярности Меллинова образа.
Если ℳ{f}(s) = F(s), и интеграл по прямой Re(s) = c ∈ (σ1, σ2) сходится, то оригинальная функция восстанавливается по формуле:
$$ f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i\infty}^{c + i\infty} x^{-s} F(s) \, ds. $$
Эта формула позволяет переходить от спектральных характеристик турбулентного потока к функциям распределения плотности энергии или корреляционным функциям в физическом пространстве.
В статистических моделях турбулентности часто анализируются функции плотности вероятности (ППВ) разностей скоростей на различных масштабах:
δvr = v(x + r) − v(x),
где r — расстояние между точками. При фиксированном r ППВ Pr(δv) может демонстрировать степенное поведение на хвостах. Применение Меллинового преобразования к Pr(δv) даёт информацию о моментах:
ℳ{Pr}(s) = ∫0∞(δv)s − 1Pr(δv) d(δv) = ⟨(δv)s − 1⟩.
Знание аналитических свойств Меллинова образа позволяет восстановить ППВ и оценить интермиттенцию — отклонения от гауссовского распределения, характерные для турбулентных потоков.
В классической теории Колмогорова (1941) спектр турбулентной энергии E(k) ∼ k−5/3, где k — волновое число. Однако с учётом интермиттенции возникают поправки, которые могут быть описаны модифицированными степенными законами. Меллинов анализ используется для оценки таких спектров, а также для анализа мультифрактальных моделей турбулентности, в которых структура функции энергии E(k) или ППВ скоростей описывается через непрерывный спектр масштабных экспонент.
Пусть S2(r) = ⟨(δvr)2⟩ ∼ rζ. Тогда, применяя Меллиново преобразование к Pr(δv), получаем:
S2(r) = ∫0∞(δv)2Pr(δv)d(δv) = ℳ{Pr}(3).
Если Pr(δv) ∼ δv−β при больших δv, то сходимость зависит от β. Анализ сингулярностей Меллинова преобразования позволяет определить, какие моменты существуют, а какие — расходятся, что играет ключевую роль при построении корректных статистических моделей турбулентности.
В мультифрактальных моделях турбулентности предполагается существование набора масштабных экспонент h, описывающих локальные особенности поведения поля скоростей. Для каждого h определяется соответствующий фрагмент пространства размерностью D(h), и функция распределения строится как суперпозиция степенных вкладов:
$$ P_r(\delta v) \sim \int dh \, r^{f(h)} \Psi_h\left( \frac{\delta v}{r^h} \right), $$
где Ψh — профильная функция. Применение преобразования Меллина к такой суперпозиции требует анализа вклада каждой из компонент в спектральной области. Это позволяет оценить функцию f(h) через поведение моментов ⟨|δvr|p⟩ ∼ rζ(p), причём ζ(p) вычисляется как:
ζ(p) = infh[ph + 3 − D(h)],
что связывает Меллиновы образы с основными характеристиками мультифрактального спектра.
В численных моделях турбулентности, особенно при анализе больших данных с высокими степенями точности, Меллиново преобразование применяется для ускоренного вычисления моментов, оценки степенных хвостов распределений, анализа асимптотик. При использовании в сочетании с быстрым преобразованием Фурье (БПФ) и логарифмической дискретизацией пространства переменных удаётся эффективно восстанавливать ППВ и спектры из эмпирических данных.
Кроме того, обратное Меллиново преобразование эффективно реализуется с помощью численных методов инверсии интегралов (например, алгоритм Меллина–Барнса), что делает его применимым в рамках стохастического моделирования турбулентности.
Преобразование Меллина позволяет объединить в единый математический аппарат анализ степенных законов, мультифрактальных структур, спектральных распределений и статистических характеристик турбулентных полей. Этот подход находит применение не только в гидродинамике, но и в плазменной физике, астрофизике, турбулентной конвекции, а также в задачах турбулентного переноса примесей и пассивных скаляров.
Математическая строгость метода, способность выявлять тонкую структуру асимптотического поведения и связь с теорией резидуев делает Меллинов анализ незаменимым инструментом в арсенале математической физики турбулентности.