Турбулентность и статистические методы
Основные характеристики турбулентного течения
Турбулентность — это крайне неустойчивое, хаотическое движение жидкости или газа, сопровождающееся вихревыми структурами, высокой чувствительностью к начальным условиям и активным переносом импульса, энергии и массы. В математической физике турбулентность характеризуется как нелинейный, многомасштабный процесс, в котором динамика развивается на множестве пространственных и временных масштабов. Величины, описывающие турбулентные потоки, как правило, представляют собой случайные функции пространства и времени. Поэтому турбулентность изучается с помощью статистических методов, а не классических детерминированных подходов.
Уравнения Навье–Стокса и их усреднение
Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, $$
где u — поле скоростей, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.
Для анализа турбулентного течения вводится процедура усреднения по ансамблю (или по времени в стационарном случае). Каждую величину представляют в виде суммы средней и флуктуационной составляющих:
$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}', \quad p = \overline{p} + p'. $$
Подставляя это разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получают уравнения Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{\mathbf{u}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \overline{\mathbf{u}} = -\frac{1}{\rho} \nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'}, $$
где тензор Рейнольдса $\overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'}$ отражает влияние турбулентных флуктуаций и играет роль дополнительного напряжения.
Замыкание уравнений и модели турбулентности
Появление тензора Рейнольдса делает систему уравнений незамкнутой: число неизвестных превышает число уравнений. Для решения этой проблемы вводятся модели турбулентности, которые выражают тензор Рейнольдса через известные величины. Наиболее распространённые подходы:
$$ \overline{u'_i u'_j} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right), $$
где νt — турбулентная вязкость.
$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P_k - \varepsilon + \text{диффузионные члены}, $$
$$ \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} = C_1 \frac{\varepsilon}{k} P_k - C_2 \frac{\varepsilon^2}{k} + \text{диффузионные члены}. $$
Спектральный анализ и каскад энергии
Ключевым понятием статистической теории турбулентности является спектр энергии. Согласно гипотезе Колмогорова, в инерциальной области спектр энергии E(k) подчиняется закону:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где k — волновое число, ε — скорость диссипации энергии. Этот результат описывает каскад энергии от крупных масштабов, где энергия вводится, к мелким, где она диссипируется вязкостью.
Корреляционные функции и функции структуры
Для количественного описания турбулентности вводят корреляционные функции второго порядка:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{u_i(\mathbf{x}) u_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}, $$
а также функции структуры:
$$ S_n(\mathbf{r}) = \overline{[\delta u(\mathbf{r})]^n}, \quad \delta u(\mathbf{r}) = u(\mathbf{x} + \mathbf{r}) - u(\mathbf{x}). $$
Функции структуры позволяют изучать интермиттенцию — наличие редких, но интенсивных флуктуаций в турбулентных полях.
Симметрии, инварианты и группы Ли
Применение симметрий и групп Ли позволяет классифицировать возможные инварианты и построить обобщённые законы сохранения, применимые к статистическим полям. В частности, возможна формулировка инвариантов по типу инвариантов Колмогорова или интегралов движения (например, геликальность, энергия и вихревая завитость) в пространственно-усреднённом или спектральном виде.
Приближенные методы в квантовой механике
Постановка задачи
Решение уравнения Шрёдингера аналитически возможно лишь для ограниченного числа потенциальных функций. Поэтому в математической физике разрабатываются приближенные методы, позволяющие находить спектры и волновые функции с нужной степенью точности. Основными методами являются:
Теория возмущений
Пусть гамильтониан имеет вид:
Ĥ = Ĥ0 + λV̂,
где Ĥ0 — точно решаемая часть, V̂ — малое возмущение, λ ≪ 1. Энергии и волновые функции ищутся в виде рядов:
En = En(0) + λEn(1) + λ2En(2) + …, |ψn⟩=|ψn(0)⟩ + λ|ψn(1)⟩ + …
Формулы для поправок:
$$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{V} | \psi_n^{(0)} \rangle, \quad |\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n} \frac{ \langle \psi_m^{(0)} | \hat{V} | \psi_n^{(0)} \rangle }{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} |\psi_m^{(0)}\rangle. $$
Метод вариации
Для основного состояния система минимизирует функционал энергии:
$$ E_0 \leq \frac{\langle \psi_{\text{trial}} | \hat{H} | \psi_{\text{trial}} \rangle}{\langle \psi_{\text{trial}} | \psi_{\text{trial}} \rangle}, $$
где ψtrial — пробная функция с набором вариационных параметров. Метод используется, например, для водородоподобных систем, ионных молекул, многоэлектронных атомов.
WKB-аппроксимация
Квазиклассический метод применяется к одномерному уравнению Шрёдингера в виде:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi. $$
Решение ищется в виде:
$$ \psi(x) = A(x) e^{\frac{i}{\hbar} S(x)}, $$
где S(x) — классическое действие. В приближении ВКБ (при ℏ → 0) получаются выражения для квантования:
$$ \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m(E - V(x))}\, dx = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \hbar. $$
Метод хорошо работает для задач с медленно меняющимся потенциалом, особенно в задачах туннелирования и спектроскопии.
Матрица плотности и численные методы
В более сложных случаях применяются численные подходы:
При этом активно используется формализм матрицы плотности, позволяющий работать с открытыми квантовыми системами и учитывать декогеренцию.
Метод квантовых путей и интеграл по траекториям
Альтернативный подход, разработанный Фейнманом, основан на выражении амплитуды перехода как интеграла по всем возможным траекториям:
$$ \langle x_f, t_f | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)]\, e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]}. $$
Этот метод особенно полезен в задачах квантовой теории поля и для оценки туннельных эффектов в потенциальных ямах.
Сравнение и применение методов
Каждый из приближенных методов имеет свои области применимости:
Глубокое понимание этих подходов позволяет решать широкий класс задач в квантовой механике — от молекулярных спектров до физических моделей в квантовой теории поля.