Рассмотрим описание движения идеальной жидкости с помощью принципа наименьшего действия. Пусть жидкость описывается в лагранжевом представлении с координатами частиц x(a, t), где a — метки (начальные координаты) частиц, а t — время. В этом представлении действие записывается в форме:
$$ S = \int_{t_1}^{t_2} \int \mathcal{L}(\mathbf{x}, \dot{\mathbf{x}}, \nabla \mathbf{x}, t)\, d^3a\, dt, $$
где ℒ — лагранжиан, описывающий кинетическую энергию и возможные потенциалы. Для несжимаемой идеальной жидкости без внешнего поля лагранжиан равен:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho_0(\mathbf{a})\, \dot{\mathbf{x}}^2, $$
при этом накладываются ограничения на несжимаемость и сохранение массы.
Переход к гамильтоновой формулировке осуществляется введением канонических переменных. В классическом случае механики — это обобщённые координаты qi и импульсы pi. В гидродинамике аналогично, в качестве обобщённых координат можно взять координаты частиц x(a, t), а импульсы определить как:
$$ \mathbf{p}(\mathbf{a}, t) = \frac{\delta S}{\delta \dot{\mathbf{x}}(\mathbf{a}, t)} = \rho_0(\mathbf{a})\, \dot{\mathbf{x}}(\mathbf{a}, t). $$
Гамильтониан тогда принимает вид:
$$ H[\mathbf{x}, \mathbf{p}] = \int \left( \frac{|\mathbf{p}(\mathbf{a})|^2}{2\rho_0(\mathbf{a})} \right) d^3a. $$
Уравнения движения следуют из канонических уравнений Гамильтона:
$$ \dot{\mathbf{x}} = \frac{\delta H}{\delta \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}} = -\frac{\delta H}{\delta \mathbf{x}}. $$
Эта формализация позволяет применять методы симплектической геометрии и теории канонических преобразований к задачам гидродинамики.
Каноническое преобразование — это преобразование переменных, сохраняющее симплектическую структуру фазового пространства. В переменных qi, pi оно удовлетворяет условию:
∑idpi ∧ dqi = ∑idPi ∧ dQi.
Для флюидных систем это преобразование действует в пространстве функционалов, и описывается через функциональные производные. Пусть F[q, p] — функционал, тогда каноническое преобразование сохраняет скобки Пуассона:
$$ \{F, G\} = \int \left( \frac{\delta F}{\delta q} \frac{\delta G}{\delta p} - \frac{\delta F}{\delta p} \frac{\delta G}{\delta q} \right) d^3a. $$
Для идеальной жидкости Эйлера каноническая структура впервые была представлена Крейгом и Марсденом. В их формулировке обобщённые координаты — это метки частиц, а импульс — это плотность движения, удовлетворяющая уравнению Эйлера.
В условиях высокой скорости и малой вязкости поток жидкости становится турбулентным. Полное описание турбулентного течения невозможно с использованием детерминированных уравнений, поскольку система становится хаотической. Статистические методы предоставляют эффективный подход, основанный на вероятностных характеристиках поля скорости u(x, t).
Ключевой объект — среднее значение поля и корреляционные функции. Например, двумерная корреляционная функция скоростей:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
где ⟨⋅⟩ — усреднение по ансамблю или времени. Эта функция характеризует степень корреляции между различными точками поля.
Колмогоровская теория турбулентности основывается на гипотезе самоподобия и инвариантности в инерционном интервале. Главным уравнением в этой теории является:
$$ \langle (\delta u_L)^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где δuL — продольная разность скоростей, ε — средняя скорость диссипации энергии, r — расстояние. Это уравнение описывает перенос энергии от больших масштабов к малым — энергетический каскад.
Переход к гамильтоновому формализму в турбулентности требует введения новых переменных — например, потенциалов Гельмгольца или квазиклассических мод. Возникает задача квантования поля скоростей, при этом гамильтониан записывается как интеграл по модам:
$$ H = \sum_{\mathbf{k}} \frac{1}{2} |\mathbf{v}_\mathbf{k}|^2, $$
где vk — амплитуды мод. В этом представлении флуктуации описываются как ансамбль осцилляторов.
Для описания статистики турбулентности используются функционалы распределения, аналогичные распределениям в кинетической теории. Важным является функционал вероятности P[u], удовлетворяющий уравнению типа Фоккера-Планка или уравнению Лиувилля:
$$ \frac{\partial P[\mathbf{u}]}{\partial t} + \int \frac{\delta}{\delta \mathbf{u}} \left( \mathbf{N}[\mathbf{u}] P \right) = 0, $$
где N[u] — нелинейный оператор Эйлера или Навье–Стокса.
Для замыкания системы используют гипотезу квазинормальности, гипотезу Колмогорова или методы Ренормгруппы. Один из подходов — уравнения Дайсона–Швингера для корреляционных функций, переносящие проблему в квантовый стиль описания.
В гамильтоновых теориях важную роль играют инварианты: энергия, импульс, вихревая структура. Сохраняющиеся интегралы движения (например, интеграл Гельмгольца или интеграл Казимира) определяют структуру фазового пространства.
Для статистического описания важны инварианты ансамбля: стационарность, эргодичность, изотропия. Эти свойства обеспечивают допустимость усреднения и устойчивость решений.
Особое значение имеет распределение энергии по модам:
E(k) = Cε2/3k−5/3,
что описывает спектр турбулентности в инерционном диапазоне (закон Колмогорова).
Применение принципа Гамильтона позволяет вывести уравнения Эйлера, не прибегая к предположениям о симметриях среды. Это открывает путь к обобщениям — например, для релятивистской жидкости, плазмы или квантовой жидкости.
При этом сохраняется структура фазового пространства и возможность канонического преобразования, что даёт основу для построения устойчивых численных схем (например, вариационно-согласованных схем) для моделирования турбулентных течений.
Согласно теореме Нётер, каждая непрерывная симметрия лагранжиана порождает сохраняющийся интеграл движения. Например:
При моделировании турбулентности эти симметрии учитываются в виде условий на вероятностные распределения и корреляционные функции.