Уравнения движения турбулентной жидкости
Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье–Стокса:
$$ \rho\left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}, $$
где v⃗ — поле скорости, p — давление, ρ — плотность, μ — динамическая вязкость, f⃗ — внешняя сила. В турбулентных режимах решение этих уравнений становится чрезвычайно чувствительным к начальным условиям, а сами поля скорости и давления флуктуируют хаотически во времени и пространстве.
Статистическое описание турбулентности
Так как детерминированное описание теряет практический смысл, применяют статистические методы. Основной объект — усреднённое поле скорости:
v⃗(x⃗, t) = ⟨v⃗⟩ + v⃗′,
где ⟨v⃗⟩ — среднее значение (например, по ансамблю или времени), а v⃗′ — флуктуации.
Подстановка разложения в уравнения Навье–Стокса и последующее усреднение приводит к уравнениям Рейнольдса, в которых появляется новый тензор — тензор Рейнольдсовых напряжений:
Rij = ⟨v′iv′j⟩.
Этот тензор представляет собой дополнительный “турбулентный” вклад в напряжения, возникающий из-за коррелированных флуктуаций скоростей.
Замыкание уравнений и модели турбулентности
Появление новых переменных — тензора Рейнольдса — делает систему уравнений незамкнутой. Для её замыкания используют феноменологические модели:
$$ R_{ij} \approx -\nu_t \left( \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle v_j \rangle}{\partial x_i} \right), $$
где νt — турбулентная вязкость.
Спектральное разложение и законы масштабов
Для однородной изотропной турбулентности используют разложение по Фурье:
v⃗(x⃗, t) = ∫v⃗(k⃗, t)eik⃗ ⋅ x⃗d3k.
Определяется энергетический спектр E(k), характеризующий распределение кинетической энергии по волновым числам:
$$ \frac{1}{2} \langle |\vec{v}(\vec{x}, t)|^2 \rangle = \int_0^\infty E(k) dk. $$
В инерциальном диапазоне масштабов, по теории Колмогорова, спектр подчиняется закону:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии.
Корреляционные функции и масштабные инварианты
Важным статистическим объектом является двухточечная корреляционная функция:
Bij(r⃗) = ⟨vi(x⃗)vj(x⃗ + r⃗)⟩,
которая содержит информацию о степени связи между флуктуациями на разных расстояниях. Из неё можно извлечь сведения о размерности вихрей, масштабах взаимодействия и т. д.
Также изучается функция структуры второго порядка:
Dij(r⃗) = ⟨[vi(x⃗ + r⃗) − vi(x⃗)][vj(x⃗ + r⃗) − vj(x⃗)]⟩,
имеющая значение в анализе турбулентных каскадов.
Постановка принципа
В классической механике важным концептуальным основанием является принцип Гамильтона (принцип стационарного действия), согласно которому действительная траектория механической системы минимизирует (или делает стационарным) действие:
S[q(t)] = ∫t1t2L(q, q̇, t)dt,
где L — лагранжиан системы, q(t) — обобщённые координаты.
Условие стационарности:
δS = 0
при вариациях δq(t) таких, что δq(t1) = δq(t2) = 0. Из этого условия выводятся уравнения Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0. $$
Гамильтонов формализм
Переход к гамильтоновой формализации осуществляется через определение обобщённых импульсов:
$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}, $$
и введение гамильтониана:
H(q, p, t) = ∑ipiq̇i − L(q, q̇, t),
где q̇i выражается через pi при регулярности лагранжиана. Уравнения движения записываются в виде уравнений Гамильтона:
$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. $$
Канонические преобразования и инвариантность действия
Принцип стационарного действия инвариантен относительно канонических преобразований, сохраняющих симплектическую структуру фазового пространства. В теории используется понятие формы Пуанкаре–Картана:
θ = ∑ipidqi − Hdt,
инвариантность которой является эквивалентом сохранения симплектической структуры.
Принцип наименьшего действия в релятивистской и квантовой механике
В релятивистской механике действие для свободной частицы:
S = −mc∫ds,
где ds — элемент собственно времени. Здесь траектория частицы минимизирует длину мировой линии в пространстве Минковского.
В квантовой механике принцип действия реализуется в виде интеграла по траекториям (Фейнмановский путь):
$$ \langle q_2, t_2 | q_1, t_1 \rangle = \int \mathcal{D}q(t) \, e^{\frac{i}{\hbar} S[q(t)]}, $$
где интеграл берётся по всем возможным траекториям между точками q1 и q2, каждая из которых вносит вклад, взвешенный экспонентой от действия.
Обобщённые принципы в механике непрерывных сред и полях
Принцип стационарного действия применяется не только к механическим системам с конечным числом степеней свободы, но и к полевым теориям. Для поля ϕ(xμ), лагранжиан заменяется лагранжианом плотности ℒ, а действие имеет вид:
S[ϕ] = ∫ℒ(ϕ, ∂μϕ, xμ) d4x.
Вариационное условие приводит к уравнениям Эйлера–Лагранжа для поля:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0. $$
Эти уравнения лежат в основе как классической теории поля, так и квантовой теории поля, где лагранжиан может включать взаимодействия, массовые члены и калибровочные поля.