Одним из центральных вызовов теории турбулентности является необходимость описания хаотически изменяющегося поля скоростей и давления при высоких числах Рейнольдса. Уравнения Навье–Стокса, описывающие вязкую несжимаемую жидкость, в турбулентном режиме становятся недоступными для точного аналитического или численного решения. Для преодоления этого используется статистическое усреднение.
Пусть v(x, t) — поле скорости. Оно представляется в виде суммы усреднённой и флуктуационной составляющих:
$$ \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) = \overline{\mathbf{v}}(\mathbf{x}, t) + \mathbf{v}'(\mathbf{x}, t), $$
где $\overline{\mathbf{v}}$ — усреднённое по ансамблю поле скорости, а v′ — флуктуации. Аналогичное разложение применяется к полю давления.
Подстановка в уравнение Навье–Стокса и последующее усреднение приводит к уравнениям Рейнольдса, в которых возникают дополнительные тензоры — тензор Рейнольдса:
$$ R_{ij} = \overline{v'_i v'_j}. $$
Этот тензор играет роль дополнительного напряжения, связанного с турбулентной передачей импульса. Однако число уравнений оказывается меньше числа неизвестных (добавляются корреляции второго порядка), что приводит к проблеме замыкания — необходимости выражения этих корреляций через усреднённые поля.
Для статистического описания турбулентного поля скорости используют корреляционные функции второго порядка, определяемые как:
$$ B_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{v_i(\mathbf{x}) v_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}. $$
Эти функции характеризуют пространственные связи между значениями скорости в различных точках. В предположении однородности (инвариантности по сдвигу) они зависят только от вектора r, а при изотропии — только от его длины.
Переход к спектральному представлению осуществляется с помощью преобразования Фурье. Вводится энергетический спектр E(k), который описывает распределение кинетической энергии по волновым числам. Общая кинетическая энергия на единицу массы даётся интегралом:
$$ \frac{1}{2} \overline{v_i v_i} = \int_0^\infty E(k)\, dk. $$
Знаковое достижение Колмогорова (1941) — гипотеза локальной изотропии и самоподобия — привела к предсказанию универсального закона инерционного поддиапазона:
E(k) = C ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы, а C — универсальная константа Колмогорова. Этот закон подтверждается экспериментами в широком диапазоне.
В турбулентном течении происходит энергетический каскад: энергия, вводимая в систему на больших масштабах, переходит на всё меньшие масштабы до тех пор, пока не достигает вязких масштабов, где она диссипирует.
Характерные масштабы:
В этом интервале физика управляется только ε и k, что и приводит к закону k−5/3.
Уравнения гидродинамики, включая уравнения Навье–Стокса, обладают рядом симметрий:
Каждая из этих симметрий приводит, по теореме Нётер, к соответствующему закону сохранения в рамках лагранжева или гамильтонова описания. Так, временная инвариантность порождает сохранение полной энергии (в отсутствии вязкости), пространственная инвариантность — сохранение импульса, а изотропия — сохранение момента импульса.
Однако в турбулентности важно учитывать, что усреднённые уравнения уже не обладают полной симметрией исходной динамики. Например, тензор Рейнольдса может нарушать изотропию даже при изотропных возмущениях.
Для стохастических систем, описываемых вероятностными функционалами, также формулируются обобщённые теоремы Нётер. Если действие инвариантно при определённой группе преобразований, то существуют статистические инварианты — количественные меры, сохраняемые в среднем.
Применение этой идеи в турбулентности приводит к важному понятию инвариантов Казимира в гамильтоновом формализме жидкости:
Все они соответствуют непрерывным симметриям и могут рассматриваться как статистические ограничения на эволюцию.
Ли-анализ симметрий применяется также к уравнениям Рейнольдса. Это позволяет выявить группы преобразований, сохраняющих форму усреднённых уравнений. Например, масштабные преобразования:
x → λx, t → λht, v → λαv
при соответствующем выборе h, α оставляют инвариантными уравнения в инерционном диапазоне. Это приводит к моделям самоподобия и шкалированию в духе Колмогорова.
Такие методы играют ключевую роль в построении моделей большого вихря (LES) и стохастических моделей турбулентности, поскольку позволяют выбирать формы тензора Рейнольдса, совместимые с симметриями.
Несмотря на симметрию уравнений, реальные турбулентные течения часто демонстрируют спонтанное нарушение симметрий. Например:
Это явление объясняется множественностью решений и нелинейной устойчивостью определённых конфигураций. В статистическом смысле оно требует рассмотрения множественных состояний, метастабильных конфигураций и бифуркационной теории.