Регулярная теория возмущений

Регулярная теория возмущений в статистическом описании турбулентности

Регулярная теория возмущений (РТВ) применяется в случаях, когда решаемая задача зависит от малого параметра ϵ, и решение представляется в виде асимптотического разложения:

u(x, t; ϵ) = u₀(x, t) + ϵu₁(x, t) + ϵ²u₂(x, t) + …

В контексте турбулентности регулярная теория возмущений используется для анализа слабых отклонений от ламинарного потока, особенно на начальных стадиях нестабильности, до наступления сильно развитой турбулентности. Это полезно для анализа линейной устойчивости и начального роста мод в развитии возмущений.

В рамках статистической теории турбулентности РТВ применяется к уравнениям, описывающим эволюцию средних и корреляционных функций, таких как уравнения для усреднённой скорости или тензора Рейнольдса.

Применение регулярной теории возмущений к уравнениям Навье–Стокса

Пусть u = U + u′, где U = ⟨u⟩ — средняя скорость, а u′ — флуктуации. Уравнение Навье–Стокса в инкомпрессибельной форме имеет вид:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. $$

Подставляя разложение по малому параметру (например, слабое возмущение к ламинарному потоку) в уравнение и собирая слагаемые при одинаковых степенях ϵ, получаем последовательность уравнений:

При ϵ⁰: уравнение для нулевого приближения u₀;
При ϵ¹: линейное уравнение для u₁, зависящее от u₀;
При ϵ²: уравнение для u₂, включающее нелинейные члены от u₁ и так далее.

Это позволяет поэтапно решать задачу, начиная с устойчивого базового потока и изучая влияние слабых возмущений.

Роль регулярной теории возмущений в статистической замыкающей схеме

Один из главных вызовов в статистической теории турбулентности — замыкание бесконечной иерархии уравнений для корреляционных функций. Например, уравнение для второй корреляционной функции включает третью, уравнение для третьей — четвёртую и т. д.

РТВ даёт возможность трактовать нелинейные члены в уравнениях для корреляторов как малые возмущения относительно гауссовского или квазилинейного фона. Например, для безвихревого начального состояния можно считать начальные флуктуации малыми и разложить корреляторы по степеням флуктуационной амплитуды:

⟨u_iu_j⟩ = ⟨u_iu_j⟩⁽⁰⁾ + ϵ⟨u_iu_j⟩⁽¹⁾ + ϵ²⟨u_iu_j⟩⁽²⁾ + …

Таким образом, РТВ позволяет систематически получать приближённые выражения для корреляторов, при этом начиная с линейной (чаще всего гауссовской) аппроксимации.

Пример: линейная стадия возмущений и временная корреляционная функция

В задачах, где можно считать турбулентность развивающейся из квазистационарного состояния, регулярная теория возмущений применима для анализа временных корреляционных функций. Например, если ϕ(t) — скалярная флуктуационная величина, можно определить автокорреляционную функцию:

C(t) = ⟨ϕ(t₀)ϕ(t₀ + t)⟩.

Для слабых нелинейных эффектов можно записать уравнение эволюции для C(t), разложив его по степеням малого параметра, например:

C(t) = C⁽⁰⁾(t) + ϵC⁽¹⁾(t) + …

При этом C⁽⁰⁾(t) удовлетворяет линейному уравнению, а C⁽¹⁾(t) — содержит вклад от квадратичных нелинейностей, отвечающих за начало декорализации.

Асимптотические методы при построении статистических моделей турбулентности

Регулярная теория возмущений используется также в построении статистических моделей типа уравнений Краича-Хоув-Ли или уравнений Ренольдса. Например, рассмотрим уравнение для второй корреляционной функции R_ij = ⟨u_iu_j⟩:

$$ \frac{d R_{ij}}{dt} = T_{ij}(R) + N_{ij}(R^{(3)}), $$

где T_ij — линейные члены, N_ij — нелинейные вклады от третьих корреляторов. Предполагая малость N_ij (или слабую нелинейность), можно разложить решение:

R_ij = R_ij⁽⁰⁾ + ϵR_ij⁽¹⁾ + …

На первом шаге R_ij⁽⁰⁾ удовлетворяет линейному уравнению, а R_ij⁽¹⁾ вычисляется по известному R_ij⁽⁰⁾. Такая схема используется в моделях типа DIA (Direct Interaction Approximation), где взаимодействие флуктуаций аппроксимируется с помощью конечного числа линейных и квадратичных членов.

Ограничения регулярной теории возмущений в турбулентности

Следует подчеркнуть, что применение РТВ к турбулентности ограничено рядом факторов:

Нелинейная насыщенность. Турбулентность по своей сути — нелинейный режим. На поздних стадиях возмущения перестают быть малыми, и РТВ становится неприменимой.
Отсутствие малого параметра. Во многих реальных задачах нет явного малого параметра, что затрудняет формализацию разложения.
Слабая универсальность результатов. Полученные по РТВ решения зависят от начального выбора фона и могут быть чувствительными к его свойствам.

Тем не менее, РТВ остаётся важным инструментом при изучении переходных режимов, развитии линейной нестабильности и начальной стадии формирования корреляционных структур в турбулентных потоках.

Связь с квазилинейными и стохастическими моделями

Регулярная теория возмущений тесно связана с квазилинейной теорией, где нелинейные члены усредняются по фону, и с стохастическими аппроксимациями (например, метод Краича), в которых воздействие нелинейных членов заменяется эквивалентным шумом.

В таких подходах РТВ позволяет оправдать замену нелинейных взаимодействий на эффективные линейные операторы, действующие в пространстве корреляторов. Это особенно полезно для задач энергетического спектрального баланса и описания каскадных процессов в турбулентных течениях.

Перспективы использования регулярных разложений

С развитием вычислительных методов регулярная теория возмущений стала применяться в асимптотических анализах на сетках, в методах мультиразрешения (wavelet/FFT) и в построении иерархических моделей, включая большие модели Лесли или Шумана для крупномасштабных вихрей.

Также РТВ служит основой для построения модели для субсетевых напряжений в LES (Large Eddy Simulation), где влияние мелкомасштабных флуктуаций моделируется как малая поправка к разрешённому полю.

Таким образом, несмотря на формальные ограничения, регулярная теория возмущений остаётся ключевым инструментом аналитического изучения и построения приближённых статистических моделей в задачах теории турбулентности.