Турбулентность и статистические методы
Турбулентность возникает как нелинейное развитие возмущений в уравнениях Навье–Стокса, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \mathbf{v}, \quad \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, $$
где v — поле скорости, p — давление, ρ — плотность жидкости, ν — кинематическая вязкость. Эти уравнения, будучи детерминированными, приводят к сложной динамике, чувствительной к начальным условиям, при больших числах Рейнольдса.
Переход к турбулентности характеризуется потерей устойчивости ламинарного режима. Классическая картина включает последовательность бифуркаций, образование вихрей, хаотическое взаимодействие между масштабами. Нелинейный член (v ⋅ ∇)v играет решающую роль в передаче энергии между масштабами и образовании каскада.
Из-за хаотической природы турбулентности прямое решение уравнений Навье–Стокса практически невозможно. Для анализа применяются статистические методы: рассматриваются не сами мгновенные поля, а их усреднённые характеристики.
Основные статистические функции:
Среднее поле скорости:
⟨v(x, t)⟩,
Корреляционные функции второго порядка:
Rij(r) = ⟨vi(x, t)vj(x + r, t)⟩,
Спектр энергии турбулентности:
E(k) = Fourier-преобразование Rii(r),
где ⟨⋅⟩ обозначает ансамблевое или временное усреднение.
Подставляя разложение v = ⟨v⟩ + v′ в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial t} + \langle v_j \rangle \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \Delta \langle v_i \rangle - \frac{\partial \langle v_i' v_j' \rangle}{\partial x_j}. $$
Возникают дополнительные члены — напряжения Рейнольдса ⟨vi′vj′⟩, требующие замыкания. Это основная трудность статистической теории турбулентности: необходимость приближённого описания высоких порядков корреляций.
Методы замыкания:
А. Н. Колмогоров в 1941 году предложил феноменологическую теорию турбулентности, опираясь на допущения изотропности и однородности при больших числах Рейнольдса. Основная идея — существование инерциального интервала масштабов, где вязкость не играет роли, а энергия передаётся от больших к малым масштабам:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — скорость диссипации энергии на единицу массы, k — волновое число. Это универсальное распределение подтверждается экспериментально и численно.
Реальные турбулентные течения обладают интермиттирующим характером: спорадические всплески градиентов скорости, не учитываемые в теории K41. Более точные модели учитывают отклонения от гауссовской статистики:
Многофрактальная модель Париси–Фраше, вводящая спектр сингулярностей,
Структурные функции:
Sp(r) = ⟨|δv(r)|p⟩ ∼ rζp,
где δv(r) = v(x + r) − v(x), и отклонение ζp от линейной зависимости свидетельствует об интермиттенции.
Релятивистская электродинамика
Переход к специальной теории относительности требует переписать уравнения Максвелла в релятивистски инвариантной форме. Используется тензор электромагнитного поля:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}, \quad F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}, $$
где ημν — метрика Минковского diag(1, −1, −1, −1).
Уравнения Максвелла:
∂νFμν = μ0Jμ, ∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0,
где Jμ = (ρc, j) — 4-ток. Эти уравнения сохраняют вид при преобразованиях Лоренца.
Тензор Fμν выражается через 4-потенциал Aμ = (ϕ/c, A):
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ.
Уравнения Максвелла следуют из лагранжиана:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - J^\mu A_\mu, $$
и инвариантны при калибровочных преобразованиях:
Aμ → Aμ + ∂μΛ,
что отражает физическую неидентифицируемость потенциала — наблюдаемыми являются только поля.
Уравнение движения заряда в релятивистском поле:
$$ \frac{d p^\mu}{d \tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, $$
где pμ — 4-импульс, uν — 4-скорость, τ — собственное время. Это уравнение сохраняет лоренц-инвариантность и обобщает обычное выражение силы Лоренца.
Тензор энергии-импульса поля:
$$ T^{\mu\nu} = F^{\mu\lambda} F^\nu_{\ \lambda} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}, $$
удовлетворяет уравнению сохранения:
∂μTμν = −FνλJλ.
Компоненты Tμν содержат плотность энергии, поток энергии (вектор Пойтинга), напряжения поля. Это тензорный аналог закона сохранения энергии и импульса.
Для заряда, движущегося произвольным образом, электромагнитный потенциал выражается через потенциалы Лиенара–Вихерта. В релятивистском случае поля зависят не только от координат, но и от задержанного времени tr, определяемого условием |r − rq(tr)| = c(t − tr). Это ведёт к финитной скорости распространения взаимодействий и описанию излучения ускоренного заряда.
Ковариантность уравнений Максвелла предвосхищает квантовую электродинамику, где Aμ и Fμν становятся операторами. Векторное поле со спином 1, удовлетворяющее уравнению Клейна–Гордона и обладающее калибровочной симметрией, приводит к построению лагранжианов, сохраняющих лоренц-инвариантность.
Релятивистская электродинамика служит краеугольным камнем для объединения классической теории поля, квантовой механики и общей теории относительности.