Релятивистская механика и динамика

Турбулентное движение жидкости характеризуется хаотичными, нестационарными и многомасштабными структурами. Его математическое описание базируется на уравнениях Навье—Стокса, которые в безынерциальной (лабильной) системе координат имеют вид:

$$ \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}, $$

где v⃗ — поле скоростей, ρ — плотность, p — давление, μ — динамическая вязкость, f⃗ — внешняя сила.

В турбулентном режиме поле скоростей v⃗ и давления p демонстрируют стохастическое поведение. Прямое численное моделирование (DNS) возможно лишь при ограниченном числе степеней свободы, тогда как в большинстве практических задач используют статистические методы.

Усреднение по Рейнольдсу и замыкание уравнений

Одним из базовых методов является разложение по Рейнольдсу:

$$ \vec{v} = \overline{\vec{v}} + \vec{v}', \quad p = \overline{p} + p', $$

где черта означает осреднение по ансамблю или времени.

Подстановка в уравнение Навье—Стокса и осреднение приводит к уравнениям Рейнольдса (RANS), включающим дополнительный тензор Рейнольдсовых напряжений:

$$ \rho \left( \frac{\partial \overline{\vec{v}}}{\partial t} + (\overline{\vec{v}} \cdot \nabla)\overline{\vec{v}} \right) = -\nabla \overline{p} + \mu \nabla^2 \overline{\vec{v}} - \nabla \cdot \overline{\rho \vec{v}' \vec{v}'}. $$

Проблема замыкания — определение корреляционных членов через осреднённые величины. Здесь применяются:

  • Эдди-вязкостные модели (например, модель Буссинеска);
  • k-ε и k-ω модели;
  • Многошкальные подходы (LES, DNS, RANS-LES гибриды).

Энергетический спектр и гипотеза Колмогорова

Ключевым инструментом статистического анализа является энергетический спектр E(k), зависящий от волнового числа k. В инерциальном диапазоне масштабов, согласно гипотезе Колмогорова (1941), спектр принимает вид:

E(k) ∼ ε2/3k−5/3,

где ε — средняя скорость диссипации кинетической энергии.

Основные положения гипотезы Колмогорова:

  • Изотропность мелких масштабов;
  • Универсальность статистики инерциального диапазона;
  • Независимость малых масштабов от крупномасштабного движения.

Корреляционные функции и функции структуры

В турбулентности ключевую роль играют двухточечные корреляции и функции структуры.

Корреляционная функция второго порядка:

Rij(r⃗) = ⟨vi(x⃗)vj(x⃗ + r⃗)⟩,

описывает степень связи между компонентами поля скоростей в различных точках пространства.

Функция структуры второго порядка:

S2(r) = ⟨[v(x⃗ + r⃗) − v(x⃗)]2⟩,

подчиняется масштабной зависимости:

S2(r) ∼ r2/3.

Более высокие порядки функций структуры описывают интермиттенцию, и их анализ ведёт к обобщениям колмогоровской теории (например, модель Шрамма, модель Шевченко—Яглома и др.).

Стохастические модели и теория Маркова

Поскольку турбулентность по своей природе стохастична, используются вероятностные модели, такие как уравнение Фоккера—Планка, описывающее эволюцию вероятностного распределения:

$$ \frac{\partial P}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial v_i}(A_i P) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial v_i \partial v_j}(B_{ij} P), $$

где Ai и Bij — коэффициенты дрейфа и диффузии, извлекаемые из данных.

Также применяются стохастические дифференциальные уравнения (Ланжевена) для моделирования временной динамики частиц в потоке.

Турбулентность и релятивистская динамика

В современных задачах астрофизики и физики высоких энергий возникает необходимость описания релятивистской турбулентности. Здесь основное уравнение — релятивистская гидродинамика:

∂μTμν = 0,

где Tμν = (ε + p)uμuν + pgμν + πμν, uμ — четырёхскорость, πμν — тензор вязкости.

Особенности релятивистской турбулентности:

  • Необходимость сохранения лоренц-инвариантности;
  • Анизотропные флуктуации и квазикаустические структуры;
  • Модифицированные функции структуры, учитывающие временную дилатацию и пространственно-временные корреляции.

Релятивистская механика: динамика и инвариантность

Основой релятивистской динамики является принцип лоренц-инвариантности. Частица с массой m и четырёхимпульсом pμ = muμ подчиняется уравнению:

$$ \frac{d p^\mu}{d \tau} = F^\mu, $$

где Fμ — четырёхсила, τ — собственное время.

Релятивистская кинетика применяется при описании систем с высокой плотностью энергии, например, в квантовой плазме, а также в описании струй в активных галактических ядрах.

Кинетическое описание и функция распределения

Релятивистское обобщение уравнения Больцмана имеет вид:

$$ p^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu} + m \frac{d p^\mu}{d \tau} \frac{\partial f}{\partial p^\mu} = C[f], $$

где f(xμ, pν) — функция распределения, C[f] — оператор столкновений.

Для систем с малым средним временем свободного пробега возможен переход к релятивистской гидродинамике через методы Чепмена—Энскога или метода моментов Грэда.

Турбулентные флуктуации в релятивистских струях

В релятивистских струях (например, излучающих джетах квазаров или гамма-всплесках) наблюдаются сильные турбулентные флуктуации, моделируемые как стохастические возмущения на фоне стационарного потока:

  • Используются трехмерные релятивистские симуляции на основе уравнений RMHD (релятивистская магнито-гидродинамика);
  • Вычисляются корреляции плотности энергии, импульса, магнитного поля;
  • Энергетический каскад может быть анизотропным и не следовать закону Колмогорова.

Современные методы моделирования

Применяются гибридные подходы:

  • LES в релятивистской постановке, где фильтрация проводится в пространственно-временной области;
  • Машинное обучение для восстановления недостающих компонент тензора напряжений;
  • Квази-частичные методы (SPH, PIC) для описания разреженных или сильно флуктуирующих систем.

Турбулентность остаётся одной из наименее полностью решённых задач в физике, особенно в релятивистском режиме, где объединяются нелинейность, стохастичность и инвариантность относительно преобразований Лоренца.

Оглавление